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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:18 Do 25.11.2010 | | Autor: | lilau |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie den Flächeninhalt A der Fläche zwischen dem Graphen der Funktion f mit [mm] f(x)=x^2 [/mm] und der x-Achse über dem Intervall [0;2] als Grenzwert einer Zerlegungssumme. |
Hallihallo,
bei dieser Aufgabe (eigentlich eine bereits gelöste Beispielaufgabe) sind mir zwei Schritte unklar geblieben:
Man teilt das Intervall [0;2] in n Teile der Breite [mm] \bruch{2}{n}. [/mm] Dann gilt für die Obersumme [mm] O_{n}:
[/mm]
[mm] O_{n}=\bruch{2}{n}*[(\bruch{2}{n})^2+(2*\bruch{2}{n})^2+...+(n*\bruch{2}{n})^2]
[/mm]
[mm] =\bruch{2^3}{n^3}*[1+2^2+...+n^2]
[/mm]
Wegen [mm] 1+2^2+...+n^2=\bruch{1}{6}*n*(n+1)(2n+1) [/mm] folgt:
[mm] O_{n}=\bruch{8}{n^3}*\bruch{1}{6}*n*(n+1)(2n+1)
[/mm]
(und hier verstehe ich es nicht) [mm] =\bruch{4}{3}*(\bruch{n+1}{n})*(\bruch{2n+1}{n})
[/mm]
[mm] =\bruch{4}{3}*(1+\bruch{1}{n})(2+\bruch{1}{n})
[/mm]
Wie kommt man von [mm] \bruch{8}{n^3}*\bruch{1}{6} [/mm] auf [mm] \bruch{4}{3}?
[/mm]
Ich verstehe, dass durch n geteilt wurde.
Somit ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} O_{n}=\bruch{4}{3}*2=\bruch{8}{3}.
[/mm]
Und woher kommt plötzlich das *2?
Der gesuchte Flächeninhalt ist [mm] A=\bruch{8}{3}.
[/mm]
Es wäre super, wenn mir das jemand erklären könnte.
Dankeschön!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:33 Do 25.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
zu deiner ersten Frage :
Der Nenner [mm] n^3 [/mm] wied auf die folgenden drei Faktoren verteilt gemäß der Regel
[mm] \bruch{1}{x^3}*x*y*z [/mm] = [mm] \bruch{x}{x}*\bruch{x}{y}*\bruch{x}{z} [/mm] = [mm] \bruch{x}{y}*\bruch{x}{z}.
[/mm]
zu deiner zweiten Frage :
die einzelnen Brüche haben jeweils ihren Grenzwert, und deshalb darf man statt zuerst die Produkte zu berechnen und dann den Gesamtgrenzwert auszurechnen auch in umgekehrter Reihenfolge verfahren : zuerst die Einzelgrenzwerte berechnen und dann diese multiplizieren.
Die einzelnen Grenzwerte sind [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n+1}{n} [/mm] = 1 und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2n+1}{n} [/mm] = 2.
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:22 Do 25.11.2010 | | Autor: | lilau |
Vielen Dank!
Das hat mir sehr geholfen.
Endlich verstanden :)
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