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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:50 Do 04.10.2007 | | Autor: | Dave11 |
| Aufgabe | f(x) = [mm] x^3 [/mm] log(x) + [mm] x^2/2 [/mm] - [mm] x^3/3
[/mm]
Bestimmen Sie Anzahl und Typ der lokalen Extrema dieser Funktion.
Sie brauchen die genaue Lage der Extrema nicht anzugeben. |
Guten Abend an alle,
ich habe mal eine Frage bezüglich dieser Funktion:
Ich habe halt die beiden ersten Ableitungen gemacht nur lassen sich
die Gleichungen nicht lösen um die Nullstelle(n) zu bestimmen.
Also muss mann irgendwie abschätzen.Habe mir überlegt die Anzahl der Extreme so herauszufinden indem ich die Nullstellen
der ersten Ableitung durch den Zwischenwertsatz beweise.Nur dann ist die Frage welcher Typ von Extrema liegt vor.Komm hier irgendwie nicht weiter....
f'(x) = [mm] 3x^2 [/mm] log(x) + x
f''(x) = 6x log(x) + 3x + 1
Diese Aufgabe muss irgendwie auch ohne Taschenrechner lösbar sein, da
es eine Klausuraufgabe war.
Danke schonmal im vorraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi, Dave,
> f(x) = [mm]x^3[/mm] log(x) + [mm]x^2/2[/mm] - [mm]x^3/3[/mm]
> Bestimmen Sie Anzahl und Typ der lokalen Extrema dieser
> Funktion.
> Sie brauchen die genaue Lage der Extrema nicht anzugeben.
> ich habe mal eine Frage bezüglich dieser Funktion:
>
> Ich habe halt die beiden ersten Ableitungen gemacht nur
> lassen sich
> die Gleichungen nicht lösen um die Nullstelle(n) zu
> bestimmen.
Steht ja extra dabei, dass man die genaue Lage der Extrema (und natürlich damit auch der Extremstellen) nicht angeben soll.
> Also muss man irgendwie abschätzen. Habe mir überlegt die
> Anzahl der Extreme so herauszufinden indem ich die
> Nullstellen der ersten Ableitung durch den Zwischenwertsatz
> beweise.
> f'(x) = [mm]3x^2[/mm] log(x) + x
OK. Dann setz das erst mal =0:
x*(3x*ln(x)+1) = 0
Die Definitionsmenge des ln besagt: x kann nicht 0 sein (D = [mm] \IR^{+}.)
[/mm]
Bleibt: 3x*ln(x)+1=0.
Betrachte also nur die Funktion h(x) = 3x*ln(x)+1
Zunächst mal gilt:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] h(x)=1 (>0) und
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] h(x) = [mm] +\infty.
[/mm]
Dann ist h'(x) = 3*ln(x) + 3
und
h'(x) = 0 <=> x = [mm] e^{-1}
[/mm]
Wie leicht zu beweisen, hat die Funktion h dort einen Tiefpunkt, und zwar:
[mm] T_{h}(e^{-1}; -3e^{-1}+1)
[/mm]
Die y-Koordinate von T ist demnach <0.
Also gilt: h ist für 0 < x [mm] \le e^{-1} [/mm] echt mon abnehmend und für x > [mm] e^{-1} [/mm] echt mon. zunehmend.
Zusammen mit den Grenzwerten folgt:
h (und damit auch die Ableitung der ursprünglichen Fkt. f' !!!) hat zwischen 0 und [mm] e^{-1} [/mm] und rechts von [mm] e^{-1} [/mm] je eine Nullstelle.
Nun musst Du nur noch begründen, dass "links" der Hochpunkt und "rechts" der Tiefpunkt liegt! Dazu verwendest Du natürlich die Vorzeichen von f'(x)!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:01 Do 04.10.2007 | | Autor: | Dave11 |
Hi Zwerglein,
ich danke Dir für diese schnelle und ausführliche Erklärung der Aufgabe.
Hatte schonmal überlegt die Nullstellen von 3x lnx + 1 zu bestimmen
hatte aber nicht dran gedacht davon die Ableitung nochmal zu bestimmen.
Jetzt ist mir alles klar.
Danke
MFG Dave
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