Bestimmung eines Erwartungswer < stoch. Analysis < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ich habe folgenden stochastischen Prozess:
d $ [mm] X_t [/mm] $ = $ [mm] v_t dW_t [/mm] $
mit $ [mm] v_t= \frac{v_0}{1+v_0t} [/mm] $
und muss zeigen, dass
[mm] E[\exp (\frac{1}{2}\int_0^t X_s^2 [/mm] ds)] < [mm] \infty [/mm] |
Zuerst bestimmt ich [mm] X_t^2:
[/mm]
[mm] X_t^2 [/mm] = [mm] X_0^2 [/mm] + [mm] \int_0^t v_s^2ds
[/mm]
Dann setze ich ein und erhalte
[mm] E[\exp (\frac{1}{2} X_0^2t [/mm] + [mm] \int_0^t\int_0^u v_s^2dsdu)] [/mm] < [mm] \infty [/mm]
stimmt das soweit?
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Hiho,
> d [mm]X_t[/mm] = [mm]v_t dW_t[/mm]
> Zuerst bestimmt ich [mm]X_t^2:[/mm]
>
> [mm]X_t^2[/mm] = [mm]X_0^2[/mm] + [mm]\int_0^t v_s^2ds[/mm]
Wie kommst du darauf?
Ito-Formel sagt: [mm] $X_t^2 [/mm] = [mm] X_0^2 [/mm] + [mm] \integral_0^t 2X_s dX_s [/mm] + [mm] \integral_0^t [/mm] 1 ds = [mm] X_0^2 [/mm] + [mm] 2\integral_0^t X_s v_s dW_s [/mm] + t$
Meine erste Intuition wäre: Überleg mal, was du über [mm] $X_t$ [/mm] weißt. Was weißt du dann über [mm] $X_t^4$? [/mm] Denn wende mal die Ito-Formel auf [mm] $\bruch{1}{12}X_t^4$ [/mm] an.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:48 Mo 20.08.2012 | | Autor: | torstentw |
blödsinn sorry.
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[mm] X_t [/mm] ist normalverteilt aber sehe keinen zusammenhang zu [mm] X_t^4
[/mm]
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Hiho,
> [mm]X_t[/mm] ist normalverteilt aber sehe keinen zusammenhang zu [mm]X_t^4[/mm]
[mm] X_t [/mm] ist insbesondere ein lokales Martingal. Ist es auch ein echtes Martingal? Daraus folgt, dass [mm] X_t^4 [/mm] was ist?
Wende nun die Itô-Formel auf [mm] X_t^4 [/mm] an und du erhälst?
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:23 Mo 20.08.2012 | | Autor: | torstentw |
> Hiho,
>
> > [mm]X_t[/mm] ist normalverteilt aber sehe keinen zusammenhang zu
> [mm]X_t^4[/mm]
>
> [mm]X_t[/mm] ist insbesondere ein lokales Martingal. Ist es auch ein
> echtes Martingal?
Ja. Aber kann mit dem [mm] X_t^4 [/mm] nichts anfangen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:34 Mo 20.08.2012 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
ja, wende doch mal die Ito-Formel an auf [mm] \bruch{1}{4}X_t^4 [/mm] !!
Dann wirst du was wiederfinden, worüber du ne Aussage treffen sollst.
MFG,
Gono.
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Ok also habe ich:
[mm] X_t^4 [/mm] = [mm] X_0^4 +4\int_0^t X_s^3 dX_s [/mm] + 6 [mm] \int_0^t X_s^2 [/mm] d<X>_s
[mm] ->\frac{1}{4} X_t^4 =\frac{1}{4} X_0^4 +\int_0^t X_s^3 v_s dW_s [/mm] + [mm] \frac{3}{2} \int_0^t X_s^2 v_s^2 [/mm] ds
Ja?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:42 Di 21.08.2012 | | Autor: | torstentw |
Kann es sein dass du dich da vertan hast ich finde damit einfach keinen Ansatz :(
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Mi 22.08.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> Ito-Formel sagt: [mm]X_t^2 = X_0^2 + \integral_0^t 2X_s dX_s + \integral_0^t 1 ds = X_0^2 + 2\integral_0^t X_s v_s dW_s + t[/mm]
Das müsste doch eher Folgendes sein oder?
[mm] X_t^2 [/mm] = [mm] X_0^2 [/mm] + [mm] \integral_0^t 2X_s dX_s [/mm] + [mm] \integral_0^t v_s^2 [/mm] ds
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Hiho,
> Das müsste doch eher Folgendes sein oder?
> [mm]X_t^2[/mm] = [mm]X_0^2[/mm] + [mm]\integral_0^t 2X_s dX_s[/mm] + [mm]\integral_0^t v_s^2[/mm]
> ds
ja 
Gut aufgepasst :-P
Ich schau mir das mal heute abend oder morgen nochmal in Ruhe an.
Hab jetzt auch das entsprechende Buch da (und bin trotzdem noch nicht viel schlauer *gna*).
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:00 Di 21.08.2012 | | Autor: | torstentw |
Super vielen Dank!
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> Das müsste doch eher Folgendes sein oder?
> [mm]X_t^2[/mm] = [mm]X_0^2[/mm] + [mm]\integral_0^t 2X_s dX_s[/mm] + [mm][mm] \integral_0^t v_s^2 [/mm] ds =
[mm] X_0^2 [/mm] + [mm] 2\integral_0^t X_s v_s dW_s \integral_0^t v_s^2 [/mm] ds$
Wenn ich das jetzt mal einsetze und das Integral bestimme ergibt sich doch
[mm] \int_0^t X_s^2 [/mm] ds = [mm] X_0^2 [/mm] t + [mm] 2\int_0^t\integral_0^t X_s v_s [/mm] dW_sds + [mm] \integral_0^t \integral_0^t v_s^2 [/mm] dsds
oder? dW_sds=0 und ich hätte mein Ergebnis?
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> > Das müsste doch eher Folgendes sein oder?
> > [mm]X_t^2[/mm] = [mm]X_0^2[/mm] + [mm]\integral_0^t 2X_s dX_s[/mm] + [mm][mm]\integral_0^t v_s^2[/mm] ds =
[mm]X_0^2[/mm] + [mm]2\integral_0^t X_s v_s dW_s \integral_0^t v_s^2[/mm] ds$
Wenn ich das jetzt mal einsetze und das Integral bestimme ergibt sich doch
[mm]\int_0^t X_s^2[/mm] ds = [mm]X_0^2[/mm] t + [mm]2\int_0^t\integral_0^t X_s v_s[/mm] dW_sds + [mm]\integral_0^t \integral_0^t v_s^2[/mm] dsds
oder? dW_sds=0 und ich hätte mein Ergebnis? Bin überfragt :(
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Mo 27.08.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Fr 24.08.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:32 Di 28.08.2012 | | Autor: | torstentw |
Bin noch immer nicht schlauer.
Hilfe :( !
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