Bestimmung einer Normalen < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:26 Di 27.05.2008 | | Autor: | lol41 |
| Aufgabe | | Im Punkt P (a/y) des Graphen der Funktion f(x) = x²-2,75 ist die Normale gezeichnet. Sie geht durch den Punkt O(0/0). Gib die Koordinaten des Punktes P an. |
Folgende Werte sind ja bereits durch die Aufgabenstellung definiert:
f'(x) (oder mTangente) = 2x; mTangente * mNormale = -1; mNormale = [mm] \bruch{f(x) - 0}{x - 0}
[/mm]
Wenn ich nun allerdings schreibe:
2x * [mm] \bruch{f(x) - 0}{x - 0} [/mm] = -1 und nach x auflöse, erhalte ich einen Punkt, durch welchen die Normale dieses Punktes nicht durch 0/0 geht. Folglich muss irgendwo ein Fehler vorliegen. Es wäre echt super, wenn Ihr mir helfen könntet!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:46 Di 27.05.2008 | | Autor: | abakus |
> Im Punkt P (a/y) des Graphen der Funktion f(x) = x²-2,75
> ist die Normale gezeichnet. Sie geht durch den Punkt
> O(0/0). Gib die Koordinaten des Punktes P an.
> Folgende Werte sind ja bereits durch die Aufgabenstellung
> definiert:
>
> f'(x) (oder mTangente) = 2x; mTangente * mNormale = -1;
> mNormale = [mm]\bruch{f(x) - 0}{x - 0}[/mm]
>
> Wenn ich nun allerdings schreibe:
> 2x * [mm]\bruch{f(x) - 0}{x - 0}[/mm] = -1 und nach x auflöse,
> erhalte ich einen Punkt, durch welchen die Normale dieses
> Punktes nicht durch 0/0 geht. Folglich muss irgendwo ein
> Fehler vorliegen. Es wäre echt super, wenn Ihr mir helfen
> könntet!
Hallo,
wenn die Tangente den Anstieg 2x hat, dann hat die Normale an der gleichen Stelle den Anstieg -1/(2x).
Aber so ist das sehr irreführend. Die Tangente wird schließlich an einer konkreten (wenn auch uns noch nicht bekannten) Stelle x=a angelegt und hat damit den Anstieg 2a, während die Normale den Anstieg [mm] \bruch{-1}{2a} [/mm] besitzt. Da die Normale noch durch den Ursprung geht, lautet die Normalengleichung
[mm] y=\bruch{-1}{2a}*x.
[/mm]
Damit kannst du die Schnittstellen von Parabel und [mm] y=\bruch{-1}{2a}*x [/mm] in Abhängigkeit von a berechnen. Das a muss dann so gewählt werden, dass die erste Ableitung für die x-Koordinate des Schnittpunkts den Wert 2a annimmt.
Viele Grüße
Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 Di 27.05.2008 | | Autor: | lol41 |
Hi,
ich habe noch nicht ganz verstanden, wie ich nun die Koordinaten mit y = - [mm] \bruch{1}{2a}* [/mm] x berechnen kann? Setze ich nun einfach x²-2,75 = - [mm] \bruch{1}{2a}* [/mm] x und forme nach x um? Dann müsste ich doch noch a herausfinden oder täusche ich mich da? Mit der Erklärung, dass a so gewählt werden muss, dass "die erste Ableitung für die x-Koordinate des Schnittpunkts den Wert 2a annimmt", kann ich leider nicht soviel anfangen?
Danke dennoch für alle Bemühungen mir die Rechnung zu erklären.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 Di 27.05.2008 | | Autor: | abakus |
> Hi,
> ich habe noch nicht ganz verstanden, wie ich nun die
> Koordinaten mit y = - [mm]\bruch{1}{2a}*[/mm] x berechnen kann?
> Setze ich nun einfach x²-2,75 = - [mm]\bruch{1}{2a}*[/mm] x und
> forme nach x um?
Ja! Jede Ursprungsgerade (ganz gleich ob Normale oder nicht) hat zwei Schnittpunkte mit der Parabel (Ausnahme: y-Achse. Die hat nur einen.)
Das "Umformen nach x" heißt hier "Aufstellen und Lösen einer quadratischen Gleichung".
Die beiden Lösungen [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] sind die x-Koordinaten der Schnittpunkte. Und an diesen Stellen muss dann die erste Ableitung der Parabel gebildet werden, und die muss gleich 2a sein.
Dann müsste ich doch noch a herausfinden
> oder täusche ich mich da? Mit der Erklärung, dass a so
> gewählt werden muss, dass "die erste Ableitung für die
> x-Koordinate des Schnittpunkts den Wert 2a annimmt", kann
> ich leider nicht soviel anfangen?
>
> Danke dennoch für alle Bemühungen mir die Rechnung zu
> erklären.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 Di 27.05.2008 | | Autor: | lol41 |
Wenn ich nun x²-2,75=-1/2a * x folgendermaßen umforme:
x²-2,75=-1/2a * x | /x
(x²-2,75)/x = -1/2a
x - [mm] \bruch{2,75}{x} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2a} [/mm] = 0
komme ich ab dieser Stelle nicht mehr weiter. Ich kann weder die P/Q-Formel noch eine andere Umformung vornehmen, welche als Ergebnis 2 mögliche x-Koordinaten hätte. Deshalb frage ich mich, ob ich irgendwo einen Fehler begangen habe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:44 Di 27.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo lol!
Du solltest nicht durch $x_$ teilen (was eh immer mit Vorsicht zu genießen ist, da man noch den Sonderfall $x \ = \ 0$ separat untersuchen muss).
> Wenn ich nun x²-2,75=-1/2a * x
Bringe hier alles auf die linke Seite. Dann kannst Du wirklich die  p/q-Formel anwenden.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 Di 27.05.2008 | | Autor: | lol41 |
So, ich hab nun das Ganze wiefolgt umgeformt:
x² - 2,75 = - 1/2a * x | + 1/2a *x
x² + 1/2a * x - 2,75 = 0 | P/Q Formel
x1/2 = - [mm] \bruch{1}{4a} \pm \wurzel{\bruch{1}{16a²} + 2,75}
[/mm]
Nun komm ich allerdings wieder nicht weiter. Wie kann ich die Wurzel auflösen, damit ich endlich x1/2 erhalte?
Danke für Alles.
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> So, ich hab nun das Ganze wiefolgt umgeformt:
>
> x² - 2,75 = - 1/2a * x | + 1/2a *x
> x² + 1/2a * x - 2,75 = 0 | P/Q Formel
> x1/2 = - [mm]\bruch{1}{4a} \pm \wurzel{\bruch{1}{16a²} + 2,75}[/mm]
>
> Nun komm ich allerdings wieder nicht weiter. Wie kann ich
> die Wurzel auflösen, damit ich endlich x1/2 erhalte?
Dein Ergebnis ist richtig und lässt sich nicht weiter vereinfachen; die Wurzel kannst du nicht auflösen. Es ergeben sich als Lösungen:
[mm]x_{1} = -\bruch{1}{4a} + \wurzel{\bruch{1}{16a²} + 2,75}[/mm]
[mm]x_{2} = -\bruch{1}{4a} - \wurzel{\bruch{1}{16a²} + 2,75}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 Di 27.05.2008 | | Autor: | lol41 |
Hmm und wie kann ich daraus nun den Schnittpunkt P aus diesen beiden x-Ausdrücken erhalten, damit ich endlich die Funktion der Normalen angeben kann? Muss ich jetzt einfach irgendwelche Werte für a einsetzen und dann schauen, wann sich zirka 2 ergibt oder wie erhalte ich den Punkt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:59 Di 27.05.2008 | | Autor: | abakus |
> Hmm und wie kann ich daraus nun den Schnittpunkt P aus
> diesen beiden x-Ausdrücken erhalten, damit ich endlich die
> Funktion der Normalen angeben kann? Muss ich jetzt einfach
> irgendwelche Werte für a einsetzen und dann schauen, wann
> sich zirka 2 ergibt oder wie erhalte ich den Punkt?
Du solltest die erste Ableitung deiner Parabel bilden (f'(x)=2x), diese konkret für deine beiden Stellen [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] angeben und gleich 2a setzen.
Für [mm] x_1 [/mm] heißt das konkret:
[mm] 2*(-\bruch{a}{4}+\wurzel{\bruch{a^2}{16}+2,75})=2a
[/mm]
In Worten: Der Anstieg der Parabel an der Stelle [mm] x_1 [/mm] beträgt 2a.
Daraus wird (beide Seiten durch 2, dann + a/4)
[mm] \wurzel{\bruch{a^2}{16}+2,75}=1,25a. [/mm] Quadriere nun beide Seiten und löse nach a auf.
Viele Grüße
Abakus
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