Bestimmung einer Ebene < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:51 Do 17.11.2005 | | Autor: | Caitunit |
Hallo zusammen,
ich habe grad eine Aufgabe vor mir, wo mir grad der Ansatz einfach nicht in den Kopf kommen will. Hoffe ihr könnt mir da mal nen kleinen Tipp geben, dass ich die Aufgabe anschließend allein berechnen kann.
Also folgende Aufgabe:
Eine Ebene ist durch die Punkte $ [mm] P_{1}(3;-3;4) [/mm] $ und $ [mm] P_{2}(-6;1;1) [/mm] $ sowie durch den in dieser Ebene liegenden Vektor $ [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 5 \end{pmatrix} [/mm] $ definiert.
Ich versuche daraus auf die 3-Punkte Form oder auf die Punkt-Richtungs Form zu kommen. Aber leider komme ich immer wieder auf ein falsches Ergebnis.
Wäre sehr dankbar darüber, wenn mir jemand den Ansatz sagen könnte, wie ich an diese Aufgabe rangehen muss. Steh da grad irgendwie aufm Schlauch. Vielen Dank schonmal im Vorraus.
Ermitteln Sie die Gleichung der Ebene in kartesischer Form.
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Hallo!
> Eine Ebene ist durch die Punkte [mm]P_{1}(3;-3;4)[/mm] und
> [mm]P_{2}(-6;1;1)[/mm] sowie durch den in dieser Ebene liegenden
> Vektor [mm]\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 5 \end{pmatrix}[/mm]
> definiert.
>
> Ich versuche daraus auf die 3-Punkte Form oder auf die
> Punkt-Richtungs Form zu kommen. Aber leider komme ich immer
> wieder auf ein falsches Ergebnis.
>
> Wäre sehr dankbar darüber, wenn mir jemand den Ansatz sagen
> könnte, wie ich an diese Aufgabe rangehen muss. Steh da
> grad irgendwie aufm Schlauch. Vielen Dank schonmal im
> Vorraus.
>
> Ermitteln Sie die Gleichung der Ebene in kartesischer Form.
Ich schätze, mit "kartesischer Form" ist die Koordinatenform gemeint? Ich würde jedenfalls über die Parameterform gehen, denn für diese brauchst du ja nur einen Orts- und zwei Richtungsvektoren. Also Ortsvektor nimmst du einen der beiden Punkte, also ersten Richtungsvektor den gegebenen Vektor und als zweiten Richtungsvektor den Differenzvektor zwischen dem zweiten Punkt und dem ersten (also dem Ortsvektor).
Wie du aus einer Parameterform die Koordinatenform machst, weißt du?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:24 Do 17.11.2005 | | Autor: | Caitunit |
Danke schonmal für die schnelle Antwort ... und ja, damit ist die Koordinatenfrom gemeint.
> Ich würde jedenfalls über die
> Parameterform gehen, denn für diese brauchst du ja nur
> einen Orts- und zwei Richtungsvektoren. Also Ortsvektor
> nimmst du einen der beiden Punkte, also ersten
> Richtungsvektor den gegebenen Vektor und als zweiten
> Richtungsvektor den Differenzvektor zwischen dem zweiten
> Punkt und dem ersten (also dem Ortsvektor).
Genauso bin ich auch vorgegangen, aber ich hab nicht das richtige herausbekommen. Ich rechne es nochmals genau durch und geb dann bescheid ob ich auf das Ergebnis komme, welches vorgegeben ist ... Andernfalls poste ich mal meinen Rechenweg...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:08 Do 17.11.2005 | | Autor: | Caitunit |
Ok, hab meinen Fehler gefunden. Man kann sich das Leben auch echt selbst schwer machen ... ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 Do 17.11.2005 | | Autor: | Caitunit |
Hab noch ein kleine Frage zu einer ähnlichen Aufgabe. Wenn möglich, könnte sich ja mal jemand meinen Rechenweg ansehen und mir sagen ob der so richtig ist. Danke.
Eine Ebene ist durch die Punkte $A(3;2;-1)$, $B(-2;5;0)$ und $C(0;-4;5)$ definiert.
Auch hier soll ich die Koordinatenform bestimmen.
Rechnung sieht wie folgt bei mir aus:
$ [mm] \vec{r_{a}}= \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm] $ $ [mm] \vec{r_{b}}= \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] $ $ [mm] \vec{r_{c}}= \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 5 \end{pmatrix} [/mm] $
Hierraus bestimme ich nun die beiden Richtungsvektoren $ [mm] \vec{a} [/mm] $ und $ [mm] \vec{b} [/mm] $:
$ [mm] \vec{a}\ [/mm] = \ [mm] (\vec{r_{b}}\ [/mm] - [mm] \vec{r_{a}})$ [/mm] => $ [mm] \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] - [mm] \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ [/mm] = [mm] $\begin{pmatrix} -5 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ [/mm]
$ [mm] \vec{b}\ [/mm] = \ [mm] (\vec{r_{c}}\ [/mm] - [mm] \vec{r_{a}})$ [/mm] => $ [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 5 \end{pmatrix} [/mm] - [mm] \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ [/mm] = [mm] $\begin{pmatrix} -3 \\ -6 \\ 6 \end{pmatrix}$ [/mm]
Wenn ich daraus jetzt [mm] \vec{n} [/mm] bestimmen möchte, muss ich ja das Vektorprodukt aus [mm] $\vec{a}$ [/mm] und [mm] $\vec{b}$ [/mm] bilden.
[mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vec{a}\ [/mm] x [mm] \vec{b} [/mm] => $ [mm] \begin{pmatrix} -5 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ [/mm] x [mm] $\begin{pmatrix} -3 \\ -6 \\ 6 \end{pmatrix}$ [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 24 \\ 27 \\ 39 \end{pmatrix} [/mm]
Wäre nett, wenn mir jemand sagen könnte, ob es bis dahin stimmt. Der Rest ist dann ja kein Problem mehr. Aber laut vorgegebenem Ergebnis kommt was anderes raus. Das irritiert mich ein wenig, da ich mir ehrlich gesagt ziemlich sicher bin das es soweit ok ist ... Wenn nicht belehrt mich bitte eines Besseren ;)
Vielen Dank schonmal im Vorraus für eure Bemühungen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:33 Do 17.11.2005 | | Autor: | Mato |
Hallo!
Dein Ergebnis müsste richtig sein, denn ich habe noch mal mit einer anderen Methode es überprüft und habe für [mm] \vec{n}= \vektor{8 \\ 9\\13}. [/mm] Mein Vektor ist linear abhängig von dem Vektor, den du rausgekriegt hast, also stimmt dein Ergebnis auch.
Da ich das Thema Vektorprodukt noch nicht hatte, habe ich mit folgendermaßen gemacht, vielleicht dir dies auch:
[mm] \vec{n}* \vec{a}=0 [/mm] und [mm] \vec{n}*\vec{b}=0
[/mm]
Dann hast du diese Gleichungen:
[mm] -5n_{1}+3n_{2}+n_{3}=0
[/mm]
[mm] \wedge -3n_{1}-6n_{2}+6n_{3}=0
[/mm]
Und dann löst man das LGS
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:00 Do 17.11.2005 | | Autor: | Caitunit |
Ja, habs selbst jetzt auch noch ein paar mal überprüft. Kommt immer genau das Selbe raus. Auch mit deiner Methode hab ich es nochmal nachgerechnet... Danke für den Tipp
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