Bestimmung des Minimums < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:56 Mi 05.11.2008 | | Autor: | Marcel08 |
| Aufgabe | Zeigen Sie: Die Funktion f : [mm] \IR \to \IR, [/mm] gegeben durch
[mm] f(a)=\summe_{i=1}^{n}(x_{i}-a)^{2}
[/mm]
nimmt an der Stelle a = [mm] \overline{x} [/mm] ihr Minimum an. |
Hallo liebe Matheraum- Community,
bezüglich der oben gestellen Aufgabe würde ich gerne wissen, ob es spezielle Regeln beim Ableiten von Summenzeichen gibt, oder ob sie wie gewohnt abgeleitet werden können. Wenn ja, hätte ich folgenden Lösungsvorschlag:
1.) notwendiges Kriterium:
1.1) Die Funktion mit Hilfe der Kettenregel ableiten: [mm] 2(x_{i}-a)
[/mm]
1.2) Die Ableitung null setzen: [mm] 2(x_{i}-a)=0
[/mm]
1.3) nach a auflösen: [mm] a=x_{i}
[/mm]
2.) hinreichendes Kriterium
2.1) Die Funktion ein weiteres Mal ableiten: 2
2.2) den für a im Zuge der ersten Ableitung erhaltenen Wert in die
berechnete zweite Ableitung einsetzen: 2(a)=2
2.3) Art des Extremums bestimmen: [mm] 2>0\Rightarrow [/mm] Minimum
Würde die Rechnung so stimmen oder gibt es eventuell einen Anlass zur Kritik? Über eine baldige Hilfe würde ich mich sehr freuen. Gruß,
Marcel
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:58 Mi 05.11.2008 | | Autor: | luis52 |
> Zeigen Sie: Die Funktion f : [mm]\IR \to \IR,[/mm] gegeben durch
>
> [mm]f(a)=\summe_{i=1}^{n}(x_{i}-a)^{2}[/mm]
>
> nimmt an der Stelle a = [mm]\overline{x}[/mm] ihr Minimum an.
> Hallo liebe Matheraum- Community,
>
> bezüglich der oben gestellen Aufgabe würde ich gerne
> wissen, ob es spezielle Regeln beim Ableiten von
> Summenzeichen gibt, oder ob sie wie gewohnt abgeleitet
> werden können. Wenn ja, hätte ich folgenden
> Lösungsvorschlag:
>
>
>
> 1.) notwendiges Kriterium:
>
>
> 1.1) Die Funktion mit Hilfe der Kettenregel ableiten:
> [mm]2(x_{i}-a)[/mm]
>
> 1.2) Die Ableitung null setzen: [mm]2(x_{i}-a)=0[/mm]
Und wo ist die Summe?
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 Mi 05.11.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Entschuldigung.
zu 1.1) [mm] \summe_{i=1}^{n}2(x_{i}-a)
[/mm]
zu 1.2) [mm] \summe_{i=1}^{n}2(x_{i}-a)=0
[/mm]
So würde es stimmen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:07 Mi 05.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Entschuldigung.
>
> zu 1.1) [mm]\summe_{i=1}^{n}2(x_{i}-a)[/mm]
>
> zu 1.2) [mm]\summe_{i=1}^{n}2(x_{i}-a)=0[/mm]
>
> So würde es stimmen?
Ja, also a = 1/n [mm] \summe_{i=1}^{n}x_i
[/mm]
Dann weißt Du aber nur: f hat an dieser Stelle a ein lokales Minimum. Wieso ist das auch ein globales Min. ??
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:15 Mi 05.11.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Ich würde sagen, dass es auch ein globales Minimum ist, weil die Funktion mit zunehmendem n monoton steigt.
Darf ich nochmal ganz blöd fragen, wie sie auf [mm] a=1/n\summe_{i=1}^{n}x_{i} [/mm] kommen, bzw. wie man nun die Richtigkeit aus der "Beweisführung" erkennt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:21 Mi 05.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Ich würde sagen, dass es auch ein globales Minimum ist,
> weil die Funktion mit zunehmendem n monoton steigt.
Unsinn ! n ist doch fest. Die Variable ist a.
>
> Darf ich nochmal ganz blöd fragen, wie sie auf
> [mm]a=1/n\summe_{i=1}^{n}x_{i}[/mm] kommen, bzw. wie man nun die
> Richtigkeit aus der "Beweisführung" erkennt?
Löse $ [mm] \summe_{i=1}^{n}2(x_{i}-a)=0 [/mm] $ nach a auf.
Die 2. Ableitung von f ist konstant = 2n >0, also liegt bei [mm] a_0 [/mm] = [mm] a=1/n\summe_{i=1}^{n}x_{i} [/mm] ein lokales Minimaum
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:24 Mi 05.11.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Okay vielen Dank.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:11 Mi 05.11.2008 | | Autor: | luis52 |
> Entschuldigung.
>
Na, das woll'n wir gerade nochmal durchgehen lassen ... 
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:24 Mi 05.11.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Danke schön.
|
|
|
|
