Bestimmung der Varianz < stoch. Analysis < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Hallo ich habe folgende normalverteilte Zufallsvariable $L=a [mm] \int_0^T \varphi(s) dB_s [/mm] + (1-a) [mm] \epsilon$ [/mm] mit [mm] \varphi \in L^2(\mathbb{R}_+,ds) [/mm] und [mm] \epsilon [/mm] ist standard normalverteilt.
Unter der Filtration [mm] \mathcal{F}_t, [/mm] die durch B generiert wird, muss ich [mm] Law(L|\mathcal{F}_t) [/mm] finden.
Also habe ich mit der Martingaleigenschaft der Brownschen Bewegung folgenden Erwartungswert bestimmt:
[mm] E[L|\mathcal{F}_t]=E[a \int_0^T \varphi(s) dB_s|\mathcal{F}_t]+ E[(1-a)\epsilon|\mathcal{F}_t]=E[a \int_0^T \varphi(s) dB_s|\mathcal{F}_t]=a \int_0^t \varphi(s) dB_s
[/mm]
Nun zur Varianz:
$Var L = Var (a [mm] \int_0^T \varphi(s) dB_s)+ [/mm] Var((1-a) [mm] \epsilon)+2 [/mm] Cov(a [mm] \int_0^T \varphi(s) dB_s, (1-a)\epsilon) [/mm] = [mm] a^2\int_t^T \varphi(s)^2 [/mm] ds [mm] +(1-a)^2 [/mm] + 2 Cov(a [mm] \int_0^T \varphi(s) dB_s, (1-a)\epsilon)$
[/mm]
Und zur Kovarianz:
$Cov(a [mm] \int_0^T \varphi(s) dB_s, (1-a)\epsilon) [/mm] = E[(a [mm] \int_0^T \varphi(s) dB_s [/mm] - E[a [mm] \int_0^T \varphi(s) dB_s])(((1-a)\epsilon)-E[(1-a)\epsilon])] [/mm] = E[(a [mm] \int_t^T \varphi(s) dB_s)(((1-a)\epsilon)] [/mm] = 0$
wegen der Unabhängigkeit am Ende. |
Stimmt das soweit?
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Hiho,
> [mm][mm] E[L|\mathcal{F}_t]=E[a \int_0^T \varphi(s) dB_s|\mathcal{F}_t]+ E[(1-a)\epsilon|\mathcal{F}_t]
[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> E[a [mm] \int_0^T \varphi(s) dB_s|\mathcal{F}_t]
[/mm]
Wo ist dein [mm] $E[\epsilon [/mm] | [mm] \mathcal{F}_t]$ [/mm] hin? Ohne weitere Informationen an [mm] \epsilon [/mm] (z.B. unabhängig von B) kannst du darüber keine Aussage treffen.
> Nun zur Varianz:
>
> [mm]Var L = Var (a \int_0^T \varphi(s) dB_s)+ Var((1-a) \epsilon)+2 Cov(a \int_0^T \varphi(s) dB_s, (1-a)\epsilon) = a^2\int_t^T \varphi(s)^2 ds +(1-a)^2 + 2 Cov(a \int_0^T \varphi(s) dB_s, (1-a)\epsilon)[/mm]
Dein erstes Integral sollte wohl von 0 starten anstatt von t.
Ansonsten passts. Bei der Kovarianz könntest du noch Konstanten ausklammern (aber offensichtlich liegt keine Unabhängigkeit vor).
> Und zur Kovarianz:
>
> [mm]Cov(a \int_0^T \varphi(s) dB_s, (1-a)\epsilon) = E[(a \int_0^T \varphi(s) dB_s - E[a \int_0^T \varphi(s) dB_s])(((1-a)\epsilon)-E[(1-a)\epsilon])] = E[(a \int_t^T \varphi(s) dB_s)(((1-a)\epsilon)] = 0[/mm]
>
> wegen der Unabhängigkeit am Ende.
Wo steht, dass die Unabhängig sein sollen?
Wenn sie das sind, hättest du den Kovarianz-Term beim Auseinanderziehen der Varianz auch weglassen können.
MFG,
Gono.
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>Wo ist dein [mm]E[\epsilon | \mathcal{F}_t][/mm] hin? Ohne >weitere Informationen an [mm]\epsilon[/mm] (z.B. unabhängig >von B) kannst du darüber keine Aussage treffen.
Sorry. [mm] \epsilon [/mm] ist unabhänging von B. Wenn man zu lange in der Aufgabe ist verliert man das wohl aus den Augen.
> Wenn sie das sind, hättest du den Kovarianz-Term beim >Auseinanderziehen der Varianz auch weglassen können.
Stimmt. Dann fällt der Term weg. Jetzt schäm ich mich :)
>Dein erstes Integral sollte wohl von 0 starten anstatt von t.
Hm ok. Ich dachte :
$ Var (a [mm] \int_0^T \varphi(s) dB_s)= [/mm] E[(a [mm] \int_0^T \varphi(s) dB_s)^2|\mathcal{F}_t] [/mm] - E[(a [mm] \int_0^T \varphi(s) dB_s)|\mathcal{F}_t]^2
[/mm]
= [mm] E[a^2\int_0^T \varphi(s)^2 ds|\mathcal{F}_t] [/mm] - [a [mm] \int_0^t \varphi(s) dB_s]^2
[/mm]
= [mm] a^2\int_0^T \varphi(s)^2 [/mm] ds - [mm] a^2\int_0^t \varphi(s)^2 [/mm] ds = [mm] a^2\int_t^T \varphi(s)^2 [/mm] ds
Wo ist mein Fehler?
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Hiho,
> $ Var (a [mm]\int_0^T \varphi(s) dB_s)=[/mm] E[(a [mm]\int_0^T \varphi(s) dB_s)^2|\mathcal{F}_t][/mm]
> - E[(a [mm]\int_0^T \varphi(s) dB_s)|\mathcal{F}_t]^2[/mm]
Das macht doch so keinen Sinn. Links steht eine relle Zahl, rechts eine Zufallsvariable.
Wo kommt denn deine Bedingung plötzlich her?
Es gilt stink normal:
[mm] $Var\left(a \int_0^T \varphi(s) dB_s\right) [/mm] = [mm] E\left[\left(a \int_0^T \varphi(s) dB_s\right)^2\right] [/mm] = [mm] \ldots$
[/mm]
MFG,
Gono.
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Aber die Verteilung wird bedingt unter [mm] \mathcal{F}_t [/mm] bestimmt? D.h. ich benötige die bedingte Varianz nicht wahr?
Also ich habe das in vereinfacht in einem englischen Buch gefunden mit
[mm] L=\int_0^T \varphi(s)dB_s [/mm]
Dann heißt es:
Conditionally on [mm] \mathcal{F}_t, [/mm] L is gaussian with variance [mm] \sigma^2_t= \int_t^T \varphi^2(s)ds.[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Sa 18.08.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hiho,
verzeih die späte Antwort, hatte aber selbst Prüfungsstreß in dem Bereich 
> Aber die Verteilung wird bedingt unter [mm]\mathcal{F}_t[/mm] bestimmt? D.h. ich benötige die bedingte Varianz nicht wahr?
Was soll denn die bedingte Varianz sein? So eine Bezeichnung gibt's nicht.
Was du meinst, ist die Varianz der bedingten Erwartung.
> Also ich habe das in vereinfacht in einem englischen Buch gefunden mit
> [mm]L=\int_0^T \varphi(s)dB_s[/mm]
> Dann heißt es:
>
> Conditionally on [mm]\mathcal{F}_t,[/mm] L is gaussian
Ja.
> with variance [mm]\sigma^2_t= \int_t^T \varphi^2(s)ds.[/mm]
Nein. Mit Varianz [mm] $\int_0^t \varphi^2(s)ds$
[/mm]
Welches Buch ist das denn?
MFG,
Gono.
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