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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Bestimmung der Eigenvektoren
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Bestimmung der Eigenvektoren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:41 Do 27.01.2011
Autor: anno

Aufgabe
Finde die Eigenwerte und Eigenvektoren zu den folgenden Matrix.

A := [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 3 & -1 } [/mm]


Ich habe also die Eigenwerte bestimmt.

det(A) := 0 = [mm] \vmat{ 1-\lambda & 1 \\ 3 & -1-\lambda } [/mm] = [mm] (1-\lambda)(-1-\lambda)-3 [/mm] = [mm] \lambda^{2}-4 [/mm]

[mm] \lambda_{1} [/mm] = 2
[mm] \lambda_{2} [/mm] = -2


Anschließend habe ich die -2 in die Matrix eingesetzt.

[mm] \pmat{ 1-\lambda & 1 \\ 3 & -1-\lambda } [/mm]

Dann das LGS gelöst.

Danach habe ich mir 2 Gleichungen aufgestellt für [mm] \lambda_{2} [/mm] = -2:

0 = [mm] 3x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm]
[mm] x_{1} [/mm] = 0 - [mm] \bruch{1}{3}x_{2} [/mm]
[mm] x_{2} [/mm] = 0 + [mm] x_{2} [/mm]

Dann bekomme ich dafür den Lösungsvektor:

[mm] \vec{v} [/mm] = [mm] \pmat{ -\bruch{1}{3} \\ 1 } [/mm]

Als Lösung wurde aber [mm] \vec{v} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 \\ -3 } [/mm]


Was mache ich denn da falsch?
        
Bezug
Bestimmung der Eigenvektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:46 Do 27.01.2011
Autor: schachuzipus

Hallo anno,


> Finde die Eigenwerte und Eigenvektoren zu den folgenden
> Matrix.
>
> A := [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 3 & -1 }[/mm]
> Ich habe also die Eigenwerte
> bestimmt.
>
> det(A) := 0 = [mm]\vmat{ 1-\lambda & 1 \\ 3 & -1-\lambda }[/mm] =
> [mm](1-\lambda)(-1-\lambda)-3[/mm] = [mm]\lambda^{2}-4[/mm]
>
> [mm]\lambda_{1}[/mm] = 2
> [mm]\lambda_{2}[/mm] = -2 [ok]
>
> Danach habe ich mir 2 Gleichungen aufgestellt für
> [mm]\lambda_{2}[/mm] = -2:
>
> 0 = [mm]3x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm]
> [mm]x_{1}[/mm] = 0 - [mm]\bruch{1}{3}x_{2}[/mm]
> [mm]x_{2}[/mm] = 0 + [mm]x_{2}[/mm]
>
> Dann bekomme ich dafür den Lösungsvektor:
>
> [mm]\vec{v}[/mm] = [mm]\pmat{ -\bruch{1}{3} \\ 1 }[/mm] [ok]
>
> Als Lösung wurde aber [mm]\vec{v}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 \\ -3 }[/mm] [ok]
>
>
> Was mache ich denn da falsch?

Nix!

Die Eingenvektoren sind von der Gestalt [mm]t\cdot{}\vektor{-\frac{1}{3}\\ 1}[/mm] mit [mm]t\in\IR\setminus\{0\}[/mm] ( 0 ausgenommen, da der Nullvektor per definitionem kein EV ist)

Mit [mm]t=-3[/mm] erhältst du den Eigenvektor aus der Musterlösung.


Man wählt sich geschickterweise einen Eigenvektor so, dass er möglichst "einfache" Gestalt hat, dann kann man besser mit ihm weiterrechnen, falls erforderlich ...

Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Bestimmung der Eigenvektoren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:52 Do 27.01.2011
Autor: anno

ok, gut zu wissen, danke für die schnelle Antwort.
Bezug
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