Bestimmung Berührpunkt < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:37 Mo 08.05.2006 | | Autor: | Tina87 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie rechnerisch, dass die Gerade g [mm] (y=-\bruch{2}{e}x+\bruch{8}{e}) [/mm] das Schaubild Kf der Funktion [mm] f(x)=4e^\bruch{-x}{2} [/mm] an der Stelle x1=2 berührt. Geben Sie die Koordinaten dieses Punktes exakt an. |
Hallo!!
Bin gerade am Verzweifeln an dieser Aufgabe. Habe bis jetzt [mm] f'(x)=-2e^\bruch{-x}{2} [/mm] und [mm] g'(x)=-\bruch{2}{e} [/mm] ausgerechnet, wobei ich mir auch nicht sicher bin ob das stimmt. Dann habe ich versucht es gleichzusetzen, aber weit gekommen bin ich nicht...ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen!
Vielen Dank schonmal!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Tina,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Deine beiden Ableitungen stimmen! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Um nun zu zeigen, dass sich beide Kurven an der genannten Stelle [mm] $x_1 [/mm] \ = \ 2$ berühren, müssen an dieser Stelle sowohl der Funktionswert als auch der Ableitungswert übereinstimmen.
Es ist also zu zeigen hier:
$g(2) \ = \ f(2) \ = \ ...$
$g'(2) \ = \ f'(2)$
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:10 Mo 08.05.2006 | | Autor: | Tina87 |
Oh dankeschön!! Das hat mir echt weitergeholfen! Der Punkt ist (2/1,47)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 Di 09.05.2006 | | Autor: | Tina87 |
| Aufgabe | | Wie viel Prozent des Funktionswertes von f(x) beträgt f(x+1) für beliebiges [mm] $x\in\IR$ [/mm] ? |
Ich hab keine Ahnung wie ich das rausbekomme..bitte helft mir!
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Hallo Tina!
Berechne durch Einsetzen den Funktionswert $f(x+1)_$ und bestimme anschließend das Verhältnis [mm] $\bruch{f(x+1)}{f(x)}$ [/mm] .
Dieser Ausdruck lässt sich dann mittels  Potenzgesetzen noch weiter vereinfachen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 Di 09.05.2006 | | Autor: | Tina87 |
also bei f(2) hab ich 1,47 rausbekommen und bei f(2+1)=f(3) hab ich 0,89. Dann [mm] \bruch{1,47}{0,89} [/mm] ergibt 1,65. Ist das jetzt meine Prozentzahl? Ist das überhaupt richtig was ich da gemacht hab?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:21 Di 09.05.2006 | | Autor: | Tina87 |
also falsch herum, habe 0,89 geteilt durch 1,47 gemacht und 0,61 kommt raus!
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Hallo Tina!
Nein, das stimmt so nicht.
Du sollst das ja allgemein, also für beliebiges $x \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \IR$ [/mm] , zeigen:
[mm] $\bruch{f(x+1)}{f(x)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4*e^{-\bruch{1}{2}(x+1)}}{4*e^{-\bruch{1}{2}x}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{e^{-\bruch{1}{2}x-\bruch{1}{2}}}{e^{-\bruch{1}{2}x}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{e^{-\bruch{1}{2}x}*e^{-\bruch{1}{2}}}{e^{-\bruch{1}{2}x}} [/mm] \ = \ ...$
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 Di 09.05.2006 | | Autor: | Tina87 |
ok soweit so gut, ich bin jetzt bei
[mm] \bruch{e^{- \bruch{1}{2}x} - {\bruch{1}{2}} }{{e^ {-\bruch{1}{2}}x}}
[/mm]
aber jetzt weiß ich auch net wie weiter!
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Tina!
Wo ist denn im Zähler die 2. e-Funktion abgeblieben?
Sieh Dir mal meine Antwort oben nochmal an ... da kannst Du den Term $e^{-\bruch{1}{2}x}}$ kürzen und bist so gut wie fertig!
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Di 09.05.2006 | | Autor: | Tina87 |
ahhh stimmt! ok dann kommt da e^ [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] raus, aber wo ist jetzt meine Prozentzahl? Oder ist das jetzt die Zahl?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:10 Di 09.05.2006 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Tina!
> ahhh stimmt! ok dann kommt da e^ [mm]-\bruch{1}{2}[/mm] raus, aber
> wo ist jetzt meine Prozentzahl? Oder ist das jetzt die Zahl?
Das ist die Zahl! Rechne diese mal aus, da sollte ein Wert zwischen $0_$ und $1_$ herauskommen ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 Di 09.05.2006 | | Autor: | Tina87 |
| Aufgabe | | Die Gerade g wird um den Punkt S(2/ [mm] \bruch{4}{e} [/mm] ) so gedreht, dass sie Kf im Punkt Q(0/4)schneidet. Diese neue Gerade wird mit h bezeichnet. Geben Sie die Gleichung von h exakt an. |
Ich hab wirklich keine Ahnung wie man sowas berechnet...brauch Hilfe!
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Aloa Tina87,
Auch wenn ich leider nicht weiß, was du mit Kf meinst, werd ich mal versuchen dir einen Hinweis zu geben.
Zunächst eine Frage: Ist die Gerade g in 'allgemeiner Lage' zu diesem 'Drehpunkt' S oder geht sie hindurch und wird dann daran gedreht?
Ich gehe mal von letzterem aus.
In diesem Falle hast du eine Gerade g, die an S gedreht wird und durch S geht.
Ferner weißt du, dass die Gerade einen weiteren Punkt hat, Punkt Q.
In diesem Falle bietet sich ja evtl. die vektorielle 2-Punkte-Form einer Geraden an:
$ h= \vec{q}+r* (\vec{s}-{\vec{q}) $
Eine Gerade ist durch 2 Punkte eindeutig definiert.
Namárie,
sagt ein Lary, wo hofft, dass dir das was nützt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 Di 09.05.2006 | | Autor: | Tina87 |
supernett dass du versuchst mir zu helfen, aber leider kann ich mit der Formel überhaupt nichts anfangen. Also Kf ist das Schaubild von f(x). Das müsste irgendwie ganz leicht zu rechnen gehn, nur wie?
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Hallo Tina!
Oben hast Du doch gezeigt, dass der Drehpunkt $S \ [mm] \left( \ 2 \ \left| \ \bruch{4}{e} \ \right)$ auf auf der Geraden $g_$ liegt; schließlich ist das ja unser alter Berührpunkt.
Damit hast Du doch zwei Punkte der neuen Geraden $h_$ gegeben. Und dafür gibt es die [b]Zwei-Punkte-Form[/b] :
[quote]$\bruch{y-y_Q}{x-x_Q} \ = \ \bruch{y_S-y_Q}{x_S-x_Q}$[/quote]
Nun noch die entsprechenden Zahlenwerte einsetzen und nach $y \ = \ ...$ umstellen.
Gruß vom
Roadrunner
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Di 09.05.2006 | | Autor: | Tina87 |
ja gut, dann kommt bei mir jetzt y= [mm] \bruch{2}{e}x [/mm] -2x+4 raus.
Sorry, hatte vergessen alles geteilt durch 2 zu nehmen...hab die lösung raus, sie lautet y=( [mm] \bruch{2}{e}-2)x+4
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:01 Di 09.05.2006 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Tina!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Das stimmt so ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Di 09.05.2006 | | Autor: | Tina87 |
| Aufgabe | | Nur ne Vereinfachung! |
also ich hab hier nen Term, den ich noch vereinfachen muss, aber net weiß wie: [mm] \bruch{2}{e}x-2x+4-4e^{- \bruch{1}{2}x}
[/mm]
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Hallo Tina!
Als einzige Vereinfachung sehe ich hier die Möglichkeit, aus den ersten beiden Termen das $x_$ auszuklammern.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 Di 09.05.2006 | | Autor: | Tina87 |
Ok also ich habe bisher das gemacht:
L(u)=h(x)-f(x) h(x) ist bei mir die Gerade
dann das ausgerechnet: L(u)=( [mm] \bruch{2}{e}-2)x+4-4e^{-\bruch{1}{2}x}
[/mm]
jetzt muss ich ja das Maximum bestimmen, d.h. L'(u)=0
wenn ich das aber gleich setz hab ich keine Ahnung wie ich weitermachen muss...
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Hallo Tina!
> dann das ausgerechnet: L(u)=([mm]\bruch{2}{e}-2)x+4-4e^{-\bruch{1}{2}x}[/mm]
Hier ist sicher gemeint [mm] $L(\red{x})$ [/mm] bzw. $L(u) \ = \ [mm] \left(\bruch{2}{e}-2\right)*\red{u}+4-4e^{-\bruch{1}{2}*\red{u}}$ [/mm] , oder? 
> jetzt muss ich ja das Maximum bestimmen, d.h. L'(u)=0
Was willst Du denn hier gleichsetzen? Zunächst musst Du hier die Ableitung $L'(u)_$ ermitteln. Wie lautet denn diese?
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:39 Di 09.05.2006 | | Autor: | Tina87 |
also als Ableitung hätte ich [mm] L'(u)=\bruch{2}{e}-2+2e^{-\bruch{1}{2}x}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:55 Di 09.05.2006 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Tina!
Diese Ableitung ist richtig! Und nun gleich Null setzen und nach $u \ = \ ...$ umstellen.
Dafür zunächst alles ohne diese e-Funktion auf die andere Seite bringen, durch $2_$ teilen und anschließend auf beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus [mm] $\ln(...)$ [/mm] anwenden.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 Di 09.05.2006 | | Autor: | Tina87 |
ja gut umgestellt hab ich alles, aber wie lauten davon die ln's?
[mm] -\bruch{1}{2}ln2e=?
[/mm]
und was ist dann auf der rechten Seite und stimmt die linke Seite?
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Hallo Tina!
Hier ist beim Umformen aber doch etwas schief gelaufen:
[mm] $\bruch{2}{e}-2+2*e^{-\bruch{1}{2}x} [/mm] \ = \ 0$
[mm] $\gdw$ $2*e^{-\bruch{1}{2}x} [/mm] \ = \ [mm] 2-\bruch{2}{e} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2e-2}{e} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2*(e-1)}{e}$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $e^{-\bruch{1}{2}x} [/mm] \ = [mm] \bruch{e-1}{e}$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $-\bruch{1}{2}x [/mm] \ = [mm] \ln\left(\bruch{e-1}{e}\right) [/mm] \ = \ [mm] \ln(e-1)-\ln(e) [/mm] \ = \ [mm] \ln(e-1)-1$
[/mm]
[mm] $\gdw$ [/mm] $x \ = [mm] -2*\left[\ln(e-1)-1\right] [/mm] \ = \ [mm] 2-2*\ln(e-1) [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 0.917$
Gruß vom
Roadrunner
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