Bestimmtes Integral < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:46 Mi 04.04.2007 | | Autor: | dany1912 |
| Aufgabe | Man berechne folgendes bestimmtes Integral mit Hilfe einer Substitution:
[mm] \integral_{-1}^{1}{\bruch{x^4}{1+x^{10}}\ dx}
[/mm]
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich komme hier irgendwie nicht weiter.. Mein Ansatz ist der, dass ich aus [mm] x^4 [/mm] und [mm] x^{10} [/mm] andere Potenzen mache:
[mm] x^4=(x^2)^2 [/mm]
[mm] x^{10}=(x^2)^5
[/mm]
damit ich dann im nächsten Schritt [mm] x^2 [/mm] substituieren kann:
[mm] x^2=u; x=\wurzel{u}=g(u)
[/mm]
[mm] $dx/du=1/2\wurzel{u}\ [/mm] -->\ [mm] dx=1/2\wurzel{u}\ [/mm] du$
Den ganzen Spaß einsetzen ergibt:
[mm] \integral_{-1}^{1}{\bruch{u^2}{1+u^5}*1/2\wurzel{u}\ du} [/mm]
Jetzt komm ich nicht mehr weiter, weil ich nicht weiß, wie ich dass mit [mm] u^5 [/mm] im Nenner machen soll bzw. ich auch gar nicht weiß, ob der Teil vorher so richtig ist.
Vielleicht könnt ihr mir helfen, vielen Dank schon mal im Voraus!
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Hallo dany!
Versuche es mal mit der Substitution $z \ := \ [mm] x^5$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:00 Mi 04.04.2007 | | Autor: | dany1912 |
Das wäre ja für den Nenner vielleicht vorteilhaft, aber was mache ich dannmit [mm] x^4 [/mm] im Zähler? Dieser ganze Subtitutionsmist will mir eh nicht so ganz in den Kopf gehen...
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Hallo dany!
Der Zähler mit [mm] $x^4$ [/mm] kürzt sich doch raus durch:
$z' \ = \ [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] \ = \ [mm] 5x^4$ $\gdw$ [/mm] $dx \ = \ [mm] \bruch{dz}{5x^4}$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo,
so würd ich diese Substitution agehen:
Die Substitution besagt ja, dass ich meine Fkt. wie folgt aufschreben kann....
[mm] x^4*(1+x^{10})^{-1}=f(g(x))*g(')(x)
[/mm]
die innere Fkt. g(x)=1+x^(10)=t [mm] \gdw x=(t-1)^\bruch{1}{10}
[/mm]
[mm] g(')(x)=10*x^9
[/mm]
also...
[mm] \bruch{x^4}{t}=f(t)*10*x^9
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{10}{x^5*t}=f(t) [/mm] mit [mm] x=(t-1)^\bruch{1}{10}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{10}{\wurzel{t^3-t^2}}=f(t)
[/mm]
Für das Integral ergibt sich dann folgendes...
[mm] \integral_{-1}^{1}{\bruch{x^4}{1+x^{10}} dx}=\integral_{g(-1)}^{g(1)}{f(t) dt}
[/mm]
[mm] \gdw \integral_{2}^{2}{f(t) dt}
[/mm]
[mm] \rightarrow [/mm] da die Grenzen gleich sind, müsste das Integral 0 betragen.
Jedenfalls hab ich das in der Schule bisher immer so gemacht.
Gruß
Andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:23 Mi 04.04.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Andreas!
> [mm]\gdw \integral_{2}^{2}{f(t) dt}[/mm]
>
> [mm]\rightarrow[/mm] da die Grenzen gleich sind, müsste das Integral 0 betragen.
Ich kann gerade nicht Deinen Fehler finden (bzw. kann auch Deinen Weg nicht nachvollziehen ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") ).
Aber das Ergebnis mit $0_$ ist definitiv falsch. Schließlich ist die zu integrierende Funktion $f(x) \ = \ [mm] \bruch{x^4}{1+x^{10}}$ [/mm] immer positiv (und auch achsensymmetrisch zur y-Achse), so dass hier auch ein positiver Wert für das Integral entsteht.
Ich habe letztendlich erhalten: [mm] $\integral_{-1}^{+1}{\bruch{x^4}{1+x^{10}} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\pi}{10} [/mm] \ [mm] \not= [/mm] \ 0$
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo,
...stimmt...du hast Recht! Das macht net 0.
Aber ich find meinen Fehler net und das Verfahren muss richtig sein, immerhin war es das bisher immer in meinem Unterricht.
Gruß
Andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:59 Mi 04.04.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Andreas!
Ich denke mal, dass der Hund in Deiner Lösung bei der Wahl der Substitution begraben liegt. Denn mit Deiner gewählten Substitution $t \ := \ [mm] 1+x^{10}$ [/mm] erreichst Du alles andere als eine Vereinfachung des vorhandenen Ausgangs-Integrals.
Ich weiß auch nicht, ob sich Dein entstehendes Integral überhaupt geschlossen lösen lässt.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo,
stimmt!. Kann es also sein, dass das nicht klappt da durch meine Substitution, die Funktion nur für [mm] t\ge [/mm] 0 definiert ist(wegen der Wurzel)?
Aber wiederum ich integrier doch im definierten Bereich der Funktion. von g(-1) bis g(1)...
Seltsam.. ich verstehs nicht.
Liebe Grüße
Andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:16 Mi 04.04.2007 | | Autor: | dany1912 |
Danke an euch beide, ich werde einfach mal heute beide Wege ausprobieren und schauen, was mir leichter fällt. Schönen Dank auch für die schnelle Beantwortung der Frage!
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