Bestimmte Divergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n) [/mm] Folgen, sodass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n= \infty [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}b_n=b [/mm] mit b<0. Zeige, dass dann gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_nb_n=-\infty [/mm] |
Guten Tag allerseits,
meine Beweisidee ist die Folgende:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_nb_n=\limes_{n\rightarrow\infty}a_n\limes_{n\rightarrow\infty}b_n=\limes_{n\rightarrow\infty}a_nb
[/mm]
Da nach Vor. gilt, dass [mm] \forall_{K\in\IR}\exists_{N\in\IN}\forall_{n>=N}:a_n>K [/mm] und b<0 ist, gilt dass ab einem [mm] {N\in\IN}, {a_n}b<\overline{K} [/mm] ist
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}a_nb_n=-\infty
[/mm]
Irgendwie werde ich aber das Gefühl nicht los, dass ich in meiner Beweisführung Fehler eingebaut habe ...
Vielen Dank schonmal im Vorraus,
Alex
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:15 Do 03.03.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo Alex!
> Seien [mm](a_n)[/mm] und [mm](b_n)[/mm] Folgen, sodass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n= \infty[/mm] und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}b_n=b[/mm] mit b<0. Zeige, dass dann
> gilt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_nb_n=-\infty[/mm]
> Guten Tag allerseits,
>
> meine Beweisidee ist die Folgende:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_nb_n=\limes_{n\rightarrow\infty}a_n\limes_{n\rightarrow\infty}b_n=\limes_{n\rightarrow\infty}a_nb[/mm]
Das ist falsch. Gegenbeispiel: [mm] $a_n=n$, $b_n=\bruch{1}{n}$. $\limes_{n\rightarrow\infty}a_nb_n=1$, [/mm] die rechte Seite ist undefiniert.
Tipp: Aus [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}b_n=b[/mm] mit $b<0$ folgt, dass ab einem gewissen $M>0$ alle Glieder [mm] $b_n<0$ [/mm] für $n>M$.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
erst einmal danke für die schnelle Antwort.
Meinst du etwa mit dem Tipp, dass ich quasi diesen Schritt mache:
1. [mm] \forall_{K\in\IR}\exists_{N\in\IN}\forall_{n>=N}:a_n>K
[/mm]
2. [mm] \exists_{M\in\IN}\forall_{n>M}: b_n<0, [/mm] da [mm] b_n [/mm] konvergente Folge mit Grenzwert b<0 ist
[mm] \Rightarrow \exists_{\overline{M}\in\IN}\forall_{n>\overline{M}}:a_nb_n<\overline{K}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}a_nb_n=-\infty
[/mm]
Viele Grüße,
Alex
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:54 Do 03.03.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo Alex!
> erst einmal danke für die schnelle Antwort.
> Meinst du etwa mit dem Tipp, dass ich quasi diesen Schritt
> mache:
>
> 1. [mm]\forall_{K\in\IR}\exists_{N\in\IN}\forall_{n>=N}:a_n>K[/mm]
>
> 2. [mm]\exists_{M\in\IN}\forall_{n>M}: b_n<0,[/mm] da [mm]b_n[/mm]
> konvergente Folge mit Grenzwert b<0 ist
>
> [mm]\Rightarrow \exists_{\overline{M}\in\IN}\forall_{n>\overline{M}}:a_nb_n<\overline{K}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}a_nb_n=-\infty[/mm]
Ja, allerdings musst du dir noch überlegen, wie du auf [mm] $\overline{K}$ [/mm] kommst.
Viele Grüße
Rainer
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Guten Abend,
ich hatte gerade Schwierigkeiten mit der Internetanbindung... :S
Das hier nun noch zur Ergänzung, damit ich nicht umsonst getippt habe.
> Seien [mm](a_n)[/mm] und [mm](b_n)[/mm] Folgen, sodass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n= \infty[/mm] und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}b_n=b[/mm] mit b<0. Zeige, dass dann
> gilt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_nb_n=-\infty[/mm]
> Guten Tag allerseits,
>
> meine Beweisidee ist die Folgende:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_nb_n=\limes_{n\rightarrow\infty}a_n\limes_{n\rightarrow\infty}b_n=\limes_{n\rightarrow\infty}a_nb[/mm]
Die Grenzwertsätze sind nur für konvergente Folgen erklärt. Insofern ist diese Schreibweise mit äußerster Vorsicht zu genießen und im Allgemeinen auch nicht richtig. Probleme könnten zum Beispiel entstehen, wenn [mm] b_n [/mm] eine Nullfolge wäre (was hier aber nicht der Fall ist).
Beispiele:
a) Folgen [mm] n^2\to\infty, \frac{1}{n}\to0 [/mm] sowie [mm] n^2\frac{1}{n}=n\to\infty [/mm] für [mm] n\to\infty
[/mm]
b) Folgen [mm] n\to\infty, \frac{1}{n^2}\to0 [/mm] sowie [mm] n\frac{1}{n^2}=\frac{1}{n^2}\to0 [/mm] für [mm] n\to\infty
[/mm]
Dann wäre also gar nicht klar, ob das Produkt nun konvergiert oder divergiert.
> Da nach Vor. gilt, dass
> [mm]\forall_{K\in\IR}\exists_{N\in\IN}\forall_{n>=N}:a_n>K[/mm] und
> b<0 ist, gilt dass ab einem [mm]{N\in\IN}, {a_n}b<\overline{K}[/mm]
> ist
>
> [mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}a_nb_n=-\infty[/mm]
>
> Irgendwie werde ich aber das Gefühl nicht los, dass ich in
> meiner Beweisführung Fehler eingebaut habe ...
Das ist von der Idee her schon richtig, aber es nicht wirklich schlüssig aufgeschrieben. Ich schreibe hier mal meine Version:
Es gibt eine Zahl t mit b<t<0, sodass [mm] b_n|t| [/mm] für [mm] n\geq n_t [/mm] ist [mm] (\varepsilon [/mm] Konvergenzkriterium mit [mm] \varepsilon=|t-b|). [/mm]
Insbesondere gilt [mm] b_n<0 [/mm] für [mm] n\geq n_t.
[/mm]
Wegen der Divergenz von [mm] a_n [/mm] ist [mm] $a_n\geq \frac{1}{|t|}K$ [/mm] für [mm] n\geq n_K. [/mm] Beachte hierbei: Auch [mm] \frac{1}{|t|}K [/mm] wird mit K beliebig groß, da |t|>0 konstant ist.
Aus beiden Aussagen folgt, dass [mm] $|a_n b_n|=|a_n||b_n|\geq \left(\frac{1}{|t|}K\right)\cdot [/mm] |t|=K$ für [mm] n\geq\max\{n_K, n_t\}. [/mm] Die Betragsfolge [mm] |a_nb_n| [/mm] divergiert also gegen [mm] \infty.
[/mm]
Da für [mm] n\geq\max\{n_K, n_t\} [/mm] die Folge [mm] a_n [/mm] positiv und die Folge [mm] b_n [/mm] negativ ist, folgt die Behauptung
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> Vielen Dank schonmal im Vorraus,
> Alex
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:23 Do 03.03.2011 | | Autor: | Quadratur |
Nun vielen Dank für eure Mühe und Hilfe. Hab es auf jeden Fall verstanden 
Gruß,
Alex
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