Bestimmen ob Untervektorraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:34 Mi 27.11.2013 | | Autor: | Twistor |
| Aufgabe | a) [mm] U:=\{(x,y)\in \IR^2 | x^2+y^2=1 \}, V=\IR^2
[/mm]
b) [mm] U:=(\{(x,0)| x \in \IR\} \cup \{(0,y)| y \in \IR \}), V=\IR^2
[/mm]
c) [mm] U:=(\{(x,0)| x \in \IR\} \cap \{(0,y)| y \in \IR \}), V=\IR^2
[/mm]
d) [mm] U:=\{f \in \IR^R| f(x) = f(-x) \forall x \in \IR \}, V=\IR^R [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Forum,
ich soll hier überprüfen, ob U Untervektorraum von V.
Ich habe schon ein paar Ideen, und würde gerne Eure Meinung dazu hören.
a)
Hier ist ja der Nullvektor nicht in U enthalten, weil für (0,0) ergibt sich [mm] 0^2+0^2 \not= [/mm] 1
Reicht das jetzt schon aus, um zu sagen, dass U kein Unvervektorraum ist?
Weil U darf ja nicht leer sein. Ist das automatisch gegeben, wenn der Nullvektor nicht enthalten ist?
b)
Also hier habe ich mir gedacht, ich zeige zuerst, dass {(x,0)| x [mm] \in \IR\} [/mm] und {(0,y)| y [mm] \in \IR \} [/mm] Untervektorräume sind.
Da bin ich so vorgegangen:
1) U [mm] \not=0:
[/mm]
für x=0 ergibt sich (0,0) und das ist [mm] \in \IR^2
[/mm]
2) sei y [mm] \in \IR, [/mm] so ist x+y [mm] \in \IR, [/mm] und deshalb auch (x+y,0) [mm] \in \IR^2 [/mm]
3) sei k [mm] \in \IR, [/mm] so auch k*x [mm] \in \IR, [/mm] deshalb auch (k*x,0) [mm] \in \IR^2
[/mm]
Ist das richtig, habe ich so korrekt gezeigt, dass es sich dabei um einen Untervektorraum handelt?
Wenn das stimmt, könnte ich mich daran machen, zu zeigen, ob für "Geschnitten" oder "Vereinigt" der Untervektorraum besteht.
Bei d) habe ich mir folgendes überlegt:
1) Kann ich hier für den Nullvektor einfach sagen f(0) = f(-0) = f(0)?
2) g(x)=g(-x) und f(x)=f(-x)
Somit muss gelten:
(f+g)(x)=(f+g)(-x)
(f+g)(x)= f(x)+g(x)=f(-x)+g(-x)=(f+g)(-x)
3) da bin ich gerade noch dran
Wäre sehr dankbar, wenn da mal jemand drüberschauen könnte, weil ich mir unsicher bin.
Vielen Dank für die Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:14 Mi 27.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
bisher richtig, bei d) 1. f(x)=0 erfüllt die Bed, also ist der Nullvektor enthalten.
wie du es aufschreibst hast du ja keinen Nullvektor
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 Mi 27.11.2013 | | Autor: | Twistor |
Danke für die rasche Antwort.
Das heißt bei d) f(x)=0 gilt, weil f(x)=f(-x), und wenn f(x)=0, dann auch f(-x). Ist es so richtig?
Für a [mm] \in \IR [/mm] habe ich dann für die Abgeschlossenheit der Skalarmultiplikation noch folgendes gemacht:
(a * f)(x) = a * (f(x)) = a * (f(-x)) = (a * f)(-x)
Somit ist a * f [mm] \in [/mm] U
EDIT: Und die Aufgabe a) ist komplett, so wie ich es habe?
Vielen Dank!
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Hallo,
> Danke für die rasche Antwort.
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> Das heißt bei d) f(x)=0 gilt, weil f(x)=f(-x), und wenn
> f(x)=0, dann auch f(-x). Ist es so richtig?
Naja, der Nullvektor ist ja hier die Funktion [mm] $n:\IR\to\IR, x\mapsto [/mm] 0$, also die konstante Nullfunktion.
Und für die gilt natürlich für alle [mm] $x\in\IR$: [/mm] $n(x)=0=n(-x)$
>
> Für a [mm]\in \IR[/mm] habe ich dann für die Abgeschlossenheit der
> Skalarmultiplikation noch folgendes gemacht:
>
Sei [mm] $x\in\IR$ [/mm] beliebig, dann gilt:
> (a * f)(x) = a * (f(x)) = a * (f(-x)) = (a * f)(-x)
>
> Somit ist a * f [mm]\in[/mm] U ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gut!
>
> EDIT: Und die Aufgabe a) ist komplett, so wie ich es habe?
Jo, es genügt zu sagen, dass der Nullvektor nicht drin ist. Damit kann das kein VR, also auch kein UVR sein.
Das mit dem leere Menge da lass mal weg 
[mm] $U\neq\emptyset$ [/mm] ist äquivalent zu [mm] $\vec 0\in [/mm] U$
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> Vielen Dank!
Gruß
schachuzipus
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