Bestimmen ganzrat. Funktionen < Steckbriefaufgaben < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:36 So 17.08.2008 | | Autor: | pdhack |
| Aufgabe 1 | Bestimme eine ganzrationale Funktion dritten Grades so, dass für den Graphen gilt:
c) O (0|0) ist Wendepunkt, an der Stelle 1/2 * [mm] \wurzel{2} [/mm] liegt ein relativer Hochpunkt vor, P (1|2) ist Punkt des Graphen. |
| Aufgabe 2 | Bestimme eine ganzrationale Funktion dritten Grades so, dass für den Graphen gilt:
c) O (0|0) ist relativer Tiefpunkt [Hochpunkt] des Graphen, 2 ist Wendestelle, die zugehörige Wendetangente hat die Steigung 4. |
Verstehe die Aufgaben ganz und garnicht, erste Aufgabe sind wir im Unterricht durch gegangen, mein Mathelehrer konnte mir das aber nicht so recht einleuchten.
Bitte um eure Hilfe zur Lösung.
Mfg
Pascal
Hinweis:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Bestimme eine ganzrationale Funktion dritten Grades so,
> dass für den Graphen gilt:
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> c) O (0|0) ist Wendepunkt, an der Stelle 1/2 * [mm]\wurzel{2}[/mm]
> liegt ein relativer Hochpunkt vor, P (1|2) ist Punkt des
> Graphen.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat die Gestalt
[mm] f(x)=ax^3+bx^2+cx+d,
[/mm]
wobei a,b,c,d irgendwelche reelle Zahlen sind.
Diese Zahlen a,b,c,d müssen anhand der gegebenen Informationen ermittelt werden.
Ich werde sie jetzt der Reihe nach ausschlachten:
1.Information: P (1|2) ist Punkt des Graphen.
Wenn ich in die Funktion die 1 einsetze, erhalte ich die 2 als zugehörigen Funktionswert.
Also gilt
[mm] f(1)=a*1^3+b*1^2+c*1+d=2
[/mm]
<==> a+b+c+d=2
2.Information: an der Stelle 1/2 [mm] *\wurzel{2}liegt [/mm] ein relativer Hochpunkt vor.
Hier muß man parat haben, was die Hochpunkte mit den 1. Ableitungen zu tun haben: an den Stellen, an denen Extremwerte sind, ist die 1.Ableitung =0.
Also brauche ich die erste Ableitung [mm] f'(x)=3ax^2+2bx+c,
[/mm]
daraus, daß bei 1/2 [mm] *\wurzel{2} [/mm] ein Extremwert vorliegt, folgt f'(1/2 [mm] *\wurzel{2})=0, [/mm] also
0=3a*(1/2 [mm] *\wurzel{2})^2+2b*(1/2 *\wurzel{2})+c
[/mm]
<==> [mm] \bruch{3}{2}a [/mm] + [mm] \wurzel{2}b [/mm] + c =0
3. Information: [mm] (\red{0}|\green{0}) [/mm] ist Wendepunkt,
Also liegt [mm] (\red{0}|\green{0}) [/mm] auf dem Graphen, dh. es ist [mm] f(\red{0})=\green{0},
[/mm]
also
[mm] \green{0}=a*\red{0}^3+b*\red{0}^2+c*\red{0}+d
[/mm]
<==> 0=d
4. Information: O [mm] (\red{0}|\green{0}) [/mm] ist Wendepunkt,
An den Stellen, an denen Wendepunkte vorliegen, ist die 2.Ableitung [mm] =\blue{0}.
[/mm]
Wir benötigen also die 2. Ableitung f''(x)=6ax+2b, und es muß sein [mm] f''(\red{0})=\blue{0}, [/mm] dh.
[mm] \blue{0}=6a*\red{0}+2b
[/mm]
==> 0=2b
Insgesamt habe ich jetzt ein Gleichungssystem gewonnen, welches aus 4 Gleichungen mit den Variablen a,b,c,d besteht, nämlich
a+b+c+d=2
[mm] \bruch{3}{2}a [/mm] + [mm] \wurzel{2}b [/mm] + c =0
0=d
0=2b.
Diese ist nun zu lösen, d=0 und b=0 kann man sofort ablesen und in die oberen Gleichungen einsetzen, das ergibt
a+c=2
[mm] \bruch{3}{2}a [/mm] + c=0
Dies ist nun noch aufzulösen nach a und c.
Die errechneten Koeffizienten a,b,c,d setzt man in [mm] f(x)=ax^3+bx^2+cx+d, [/mm] ein, und damit hat man die gesuchte Lösung gefunden.
Wie geht's nun weiter?
Wenn Du lernen möchtest, wie diese Steckbriefaufgaben zu lösen sind, solltest Du zunächst das vorgerechnete Beispiel mit Zettel, Stift, Papier denkend und schreibend nachvollziehen.
Bei Fragen kannst Du gerne hier nachfragen.
Wenn Du alles verstanden hast, versuche die andere Aufgabe allein zu lösen.
Auch hier gilt: Du kannst gerne nachfragen.
Gruß v. Angela
> Bestimme eine ganzrationale Funktion dritten Grades so,
> dass für den Graphen gilt:
>
> c) O (0|0) ist relativer Tiefpunkt [Hochpunkt] des Graphen,
> 2 ist Wendestelle, die zugehörige Wendetangente hat die
> Steigung 4.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 So 17.08.2008 | | Autor: | pdhack |
| Aufgabe | | <==> $ [mm] \bruch{\wurzel{2}}{4}a [/mm] $ + $ [mm] \bruch{1}{2}b [/mm] $ + $ [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2}c [/mm] $ + d =0 |
Müssen hier nicht noch das Hoch3 und Hoch2 hin? oder ist dies schon aufgelöst worden?
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> <==> [mm]\bruch{\wurzel{2}}{4}a[/mm] + [mm]\bruch{1}{2}b[/mm] +
> [mm]\bruch{\wurzel{2}}{2}c[/mm] + d =0
> Müssen hier nicht noch das Hoch3 und Hoch2 hin? oder ist
> dies schon aufgelöst worden?
Himmel!!!
Ich hab' bei Information 2 die falsche Gleichung verwendet, da muß man doch die erste Ableitung nehmen.
Ich korrigiere es gleich, wenn der gelbe Punkt weg ist, ist's fertig.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:16 So 17.08.2008 | | Autor: | MiMa90 |
Guten Tag!
Das ganze ist nicht so schwer, wie es am Anfang scheint ! Du muss dir nur klar machen was gegeben ist.
Also als erstes steht da, dass es eine ganzrationale Funktion dritten Grades ist. So weißt du die allgemine Gleichung und kannst dies ableiten.
f(x)=ax³+bx²+cx+d
f'(x)=3ax²+2bx+c
f''(x)=6ax+2b
Aus dem weitern Text gehen nun 4 Bedingung hervor, die deine Funktion hat.
"(0|0) ist Wendepunkt":
Diese Aussage verrät dir 2 Sachen. Zum einen, die Funktion geht durch (0/0) und die 2. Abletiung muss im Punkt (0/0) auch 0 sein.
"1/2 * $ [mm] \wurzel{2} [/mm] $ liegt ein relativer Hochpunkt":
In dieser Stelle muss die 1. Ableitung gleich 0 sein.
"(1|2) ist Punkt des Graphen":
Die Funktion geht durch (1/2)
Also hast du folgende Bedingungen:
f(0)=0
f(1)=2
f'(1/2 * $ [mm] \wurzel{2} [/mm] $)=0
f''(0)=0
Das setzt du nun in die Allgemeine Gleichung ein:
1. 0=a0³+b0²+c0+d
2. 2=a1³+b1²+c1+d
3. 0=3a(1/2*$ [mm] \wurzel{2} [/mm] $)²+ 2b(1/2*$ [mm] \wurzel{2} [/mm] $)+c
4. 0=6a0+2b
Daran siehst du das b und d gleich 0 sind also siehst du das die Funktion nur so aufgebaut ist: f(x)=ax³+cx. So bruachst du nur noch Bedingung 2 und 3.
2. 2=a+c
3. 0=3a(1/2*$ [mm] \wurzel{2} [/mm] $)²+c
Diese formst du so um, dass du c und a bestimmen kannst und schwups hast du die vollständige Funktionsgleichung. Mit der 2. Aufgabe musst du genau so verfahren!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 So 17.08.2008 | | Autor: | pdhack |
Hallo Micha, wie kamst du auf das ?
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Dies ist die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt, vgl auch Angelas Post.
[mm] $x_0$ [/mm] Wendestelle [mm] $\Rightarrow f''(x_0)=0$
[/mm]
Grüße Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:42 So 17.08.2008 | | Autor: | pdhack |
vielen dank =)
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