Bestimmen eines Grenzwertes < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:28 Mo 08.12.2008 | | Autor: | ywc |
| Aufgabe | [mm] \summe_{i=1}^{\infty}i^{2}*z^{i} [/mm] mit [mm] z\in\IC [/mm] und |z|<1
Ergebnis: [mm] z*(z+1)/(1-z)^{3} [/mm] |
Hallo,
ich muss den Grenzwert der oben angegeben Reihe bestimmen und finde keinen Ansatz. Ich weiss, dass die Reihe eine Potenzreihe ist.
Wir haben verschiedene Kriterien zur Kovergenz besprochen.
Nur wie ich auf den Grenzwert kommen kann, ist mir leider nicht klar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo ywc und erst einmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}i^{2}*z^{i}[/mm] mit [mm]z\in\IC[/mm] und |z|<1
> Ergebnis: [mm]z*(z+1)/(1-z)^{3}[/mm]
> Hallo,
> ich muss den Grenzwert der oben angegeben Reihe bestimmen
> und finde keinen Ansatz. Ich weiss, dass die Reihe eine
> Potenzreihe ist.
> Wir haben verschiedene Kriterien zur Kovergenz besprochen.
> Nur wie ich auf den Grenzwert kommen kann, ist mir leider
> nicht klar.
Hattet ihr zufällig neulich in der VL das Cauchyprodukt? 
Du weißt, dass für $|z|<1$ die geometrische Reihe [mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}z^k$ [/mm] den Wert [mm] $\frac{1}{1-z}$ [/mm] hat, also hat [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}z^k$ [/mm] den Wert [mm] $\frac{1}{1-z}-1=\frac{z}{1-z}$
[/mm]
Damit weißt du, dass [mm] $\left(\frac{z}{1-z}\right)^2=\left(\sum\limits_{k=1}^{\infty}z^k\right)^2=\left(\sum\limits_{k=1}^{\infty}z^k\right)\cdot{}\left(\sum\limits_{k=1}^{\infty}z^k\right)$
[/mm]
Berechne mal dieses Cauchyprodukt, das sollte dich auf die richtige Fährte bringen ...
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:52 Mo 08.12.2008 | | Autor: | ywc |
| Aufgabe | [mm] (a_{k})=(b_{k})=\summe_{k=0}^{\infy}z^{k+1}
[/mm]
[mm] c_{k}=\summe_{n=0}^{k}z^{n+1}*z^{k+1-n}=\summe_{n=0}^{k}z^{k+2} [/mm] |
Hallo,
das Cauchy-Produkt haben wir noch nicht behandelt. Hier mal ein Ansatz.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:59 Mo 08.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
anderer Weg:
Du kennst hoffentlich [mm] \summe_{i=1}^{\infty}z^i
[/mm]
dann differenzier mal links und rechts 2 mal. dann noch ein bischen die linke Seite frisieren und du hast es.
Gruss leduart
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