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| Aufgabe | Bestimmen sie für [mm] A=\pmat{ 2 & 4 \\ 3 & 8 } [/mm] eine Zahl [mm] r\in\IR [/mm] so, dass
[mm] \vmat{(\bruch{1}{r}A)^{-1}} [/mm] = Spur [mm] ((\bruch{1}{r}A)^{-1}) [/mm] ist. |
Hallo ihr lieben!
Also ich komme mit dieser AUfgabe irgendwqie so gar nicht klar. Hab gefehlt als wir das durchgenommen haben. Und nun weiß ich erst einmal gar nicht wie ich überhaupt eine Spur berechne und 2. wie ich an diese aufgabe ran gehe.
Muss ich die inverse von A berchnen, aber selbst wenn ich das mache, keine ahnung wie ich dann wieter machen sollte.
Also, ihr seht ich bin komplett ahnungslos und ich wäre euch wirklich sehr dankabr, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
lg
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Hallo A_to_the_T,
> Bestimmen sie für [mm]A=\pmat{ 2 & 4 \\
3 & 8 }[/mm] eine Zahl
> [mm]r\in\IR[/mm] so, dass
> [mm]\vmat{(\bruch{1}{r}A)^{-1}}[/mm] = Spur [mm]((\bruch{1}{r}A)^{-1})[/mm]
> ist.
> Hallo ihr lieben!
>
> Also ich komme mit dieser AUfgabe irgendwqie so gar nicht
> klar. Hab gefehlt als wir das durchgenommen haben. Und nun
> weiß ich erst einmal gar nicht wie ich überhaupt eine
> Spur berechne
Na, da hilft google und ein Blick in die wiki Seite!
Die Spur einer quadratischen Matrix ist die Summe ihrer Hauptdiagonalelemente
> und 2. wie ich an diese aufgabe ran gehe.
Rechne beide Seiten getrennt aus und bestimme dann [mm]r[/mm] so, dass Gleichheit gilt.
> Muss ich die inverse von A berchnen, aber selbst wenn ich
> das mache, keine ahnung wie ich dann wieter machen sollte.
Schaue dir die Rechenregeln zur Spur und zur Inversen an.
Es ist etwa [mm](k\cdot{}A)^{-1}=\frac{1}{k}\cdot{}A^{-1}[/mm] für [mm]k\neq 0[/mm]
Die Spur ist linear ...
Damit lege mal los ...
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> Also, ihr seht ich bin komplett ahnungslos und ich wäre
> euch wirklich sehr dankabr, wenn mir jemand weiterhelfen
> könnte.
>
> lg
Gruß
schachuzipus
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Hallo! und danke erst einmal für deine Hilfe!
Also habs mir auf Wiki angeschaut und versucht nachzuvollziehen. Ich bin aber absolut kein matheass und da das alles sehr allgemein gefasst ist, habe ich nicht wirklich verstanden was da steht.
Na ja ich hab es jetzt trotzdem mal versucht.
Ähm für [mm] (\bruch{1}{r}A)^{-1} [/mm] kann ich da auch einfach schreiben [mm] \bruch{1}{r} [/mm] mal die inverse von A oder kann ich das gar nicht si auseinanderziehen?
Achso und stimmt es, dass die Spur von A 10 ist?
Und noch eine Frage, nur um mir das zu verdeutlich wenn ich die Aufageb verbal formuliere, stimmt es dann, dass
ich eine zahl r so bestimmen muss, dass die Determinate von [mm] (\bruch{1}{r}A)^{-1} [/mm] gleich der Spur von diesem Ausdruck ist???
Sorry, aber ich hab echt so gar kein ahnung. Danke schon mal für jede hilfe!
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:34 Mo 31.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo! und danke erst einmal für deine Hilfe!
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> Also habs mir auf Wiki angeschaut und versucht
> nachzuvollziehen. Ich bin aber absolut kein matheass und da
> das alles sehr allgemein gefasst ist, habe ich nicht
> wirklich verstanden was da steht.
> Na ja ich hab es jetzt trotzdem mal versucht.
>
> Ähm für [mm](\bruch{1}{r}A)^{-1}[/mm] kann ich da auch einfach
> schreiben [mm]\bruch{1}{r}[/mm] mal die inverse von A oder kann ich
> das gar nicht si auseinanderziehen?
Nein, so geht das nicht. Es gilt: [mm](\bruch{1}{r}A)^{-1}= r* A^{-1}[/mm]
>
> Achso und stimmt es, dass die Spur von A 10 ist?
Ja
>
> Und noch eine Frage, nur um mir das zu verdeutlich wenn ich
> die Aufageb verbal formuliere, stimmt es dann, dass
>
> ich eine zahl r so bestimmen muss, dass die Determinate von
> [mm](\bruch{1}{r}A)^{-1}[/mm] gleich der Spur von diesem Ausdruck
> ist???
Ja
FRED
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> Sorry, aber ich hab echt so gar kein ahnung. Danke schon
> mal für jede hilfe!
>
> lg
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So, habe mal versucht dass zu rechnen
also: [mm] \vmat{(\bruch{1}{r}A)^{-1} } [/mm] = [mm] \vmat{ r \* A^{-1} }
[/mm]
also erstes habe ich die inverse von A berechnet:
[mm] A^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{detA}\pmat{ 8 & -3 \\ -4 & 2 } [/mm] = [mm] \bruch{1}{2*8 - (-3)*(-4)}\pmat{ 8 & -3 \\ -4 & 2 } [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}\pmat{ 8 & -3 \\ -4 & 2 } [/mm] = [mm] \pmat{2 & - \bruch{3}{4} \\ -1 & \bruch{1}{4} }
[/mm]
dann, als nächstes muss ich ja das ganze mit r multiplizieren und davon die Determinante bestimmen, richtig?
[mm] \vmat{ 2r & -\bruch{-3}{4}r \\ -r & \bruch{1}{4}r } [/mm] = 2r* [mm] \bruch{1}{4}r [/mm] - [mm] (-\bruch{3}{4} [/mm] r * (-r) = [mm] \bruch{1}{2}r^{2} [/mm] - [mm] \bruch{3}{4} r^{2} [/mm] = [mm] -\bruch{r^{2}}{4}
[/mm]
Die Spur wäre dann [mm] 2r+\bruch{1}{4}r [/mm] = [mm] 2\bruch{1}{4} [/mm] r
und wenn ich das gleich setze erhalte ich:
[mm] r\bruch{1}{4}r [/mm] = [mm] -\bruch{r^{2}}{4} [/mm]
r = -9
mhm, aber irgendwie scheint das falsch zu sein. Wo liegt denn mein Fehler, ahbe ich mich verrechnet oder was falsch umgeformt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:51 Mo 31.01.2011 | | Autor: | pyw |
> So, habe mal versucht dass zu rechnen
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> also: [mm]\vmat{(\bruch{1}{r}A)^{-1} }[/mm] = [mm]\vmat{ r \* A^{-1} }[/mm]
>
> also erstes habe ich die inverse von A berechnet:
>
> [mm]A^{-1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{detA}\pmat{ 8 & -3 \\ -4 & 2 }[/mm] = [mm]\bruch{1}{2*8 - (-3)*(-4)}\pmat{ 8 & -3 \\ -4 & 2 }[/mm] = [mm]\bruch{1}{4}\pmat{ 8 & -3 \\ -4 & 2 }[/mm] = [mm]\pmat{2 & - \bruch{3}{4} \\ -1 & \bruch{1}{4} }[/mm]
Du verwendest nicht ganz die richtige Formel für die Berechnung der inversen 2x2 Matrix:
[mm] A^{-1} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix}^{-1} [/mm] = [mm] \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \\ \end{pmatrix}=\frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \\ \end{pmatrix}
[/mm]
Deswegen kommt bei dir auch nicht das richtige Ergebnis raus. Rauskommen sollte [mm] A^{-1}=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3/4 & 1/2 \\ \end{pmatrix} [/mm] als inverse Matrix von [mm] A=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 8 \\ \end{pmatrix}.
[/mm]
> [...]
Den Rest kannst du weiterrechnen :)
Gruß, pyw
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:08 Mo 31.01.2011 | | Autor: | A_to_the_T |
Danke erst einmal für die Hilfe!!!
Nur jetzt, bin ich ein wenig verwirrt. Also bei der inversen matrix, werden auch die b und c mit einander vertauscht? Ich dachte man ändert nur das Vorzeichen. Aber ich glaube ich habe gerade einen anderen fehler gefunden. Habe in der inversen Matrix mit [mm] \bruch{1}{4} [/mm] anstatt [mm] \bruch{1}{2} [/mm] gerechnet. Werde das ganze später nochmal nachrechnen.
Auf jeden fall danke erst mal, an alle, die mir gehilfen haben...bin jetzt schon ein kleines stückchen weiter ^^
lg
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