Bestimmen der Eigenvektoren < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:08 Do 03.06.2010 | | Autor: | DavidC |
| Aufgabe | Gegeben die matrix A [mm] \pmat{2 & 0 & \bruch{-1}{\wurzel{2}} \\ 0 & 2 & \bruch{1}{\wurzel{2}} \\ \bruch{-1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} & 2} [/mm]
ihre Eigenwerte sind 3 , 2 und 1
Bestimmen sie die Eigenvektoren . |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
also für 3 hab : [mm] -1/\wurzel{2} [/mm]
alpha [mm] 1/\wurzel{2}
[/mm]
1
für 2 hab : hab ich beta(1/1/0) + alpha (0/0/1)
für 1 hab ich : [mm] 1/\wurzel{2}
[/mm]
alpha -1 [mm] /\wurzel{2}
[/mm]
1
ich bin jetzt unsicher für den EIgenwert 2 ob der eigenvektro stimmt ... was habt ihr da raus ? hab ich da nen Fehler gemacht ?
|
|
| |
|
Hallo DavidC,
> Gegeben die matrix A (2 0 [mm]-1/\wurzel{2})[/mm]
> (0 2
> [mm]1/\wurzel{2})[/mm]
> [mm](-1/\wurzel{2}[/mm]
> 1/wurzel{2} 2 )
>
> ihre Eigenwerte sind 3 , 2 und 1
> Bestimmen sie die Eigenvektoren .
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
> also für 3 hab : [mm]-1/\wurzel{2}[/mm]
> alpha [mm]1/\wurzel{2}[/mm]
> 1
>
> für 2 hab : hab ich beta(1/1/0) + alpha (0/0/1)
>
> für 1 hab ich : [mm]1/\wurzel{2}[/mm]
> alpha -1 [mm]/\wurzel{2}[/mm]
> 1
>
> ich bin jetzt unsicher für den EIgenwert 2 ob der
> eigenvektro stimmt ... was habt ihr da raus ? hab ich da
> nen Fehler gemacht ?
Für den Eigenwert 2 gibt es definitiv nur einen Eigenvektor.
Poste doch die Rechenenschritte, wie Du auf für den Eigenwert 2
auf den Vektor [mm]\pmat{0 \\ 0 \\ 1}[/mm] gekommen bist.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 Do 03.06.2010 | | Autor: | DavidC |
das ist schwer hier die Rechenschritte zu zeigen . Ich kann die ganzen Zeichen noch nicht verwenden .. ich versuch es mal zu beschreiben.. also ich hab für lambda 2 eingesetzt ( A-lambda) und erhalte somit eine Matrix wo die Hauptdiagonale 0 sind ud dann ist auf der 12-Stelle und 21-stelle auch eine Null
dann hab ich gauß angewendet .. man kann dann x3 frei wählen ... dann musst man aber auch noch y frei wählen.. was habt ihr denn da raus ?
|
|
|
| |
|
Hallo DavidC,
> das ist schwer hier die Rechenschritte zu zeigen . Ich kann
> die ganzen Zeichen noch nicht verwenden .. ich versuch es
> mal zu beschreiben.. also ich hab für lambda 2 eingesetzt
> ( A-lambda) und erhalte somit eine Matrix wo die
> Hauptdiagonale 0 sind ud dann ist auf der 12-Stelle und
> 21-stelle auch eine Null
> dann hab ich gauß angewendet .. man kann dann x3 frei
> wählen ... dann musst man aber auch noch y frei wählen..
> was habt ihr denn da raus ?
Die Matrix sieht doch so aus:
[mm]\pmat{0 & 0 & -\bruch{\wurzel{2}}{2} \\ 0 & 0 & \bruch{\wurzel{2}}{2} \\ -\bruch{\wurzel{2}}{2} & \bruch{\wurzel{2}}{2} & 0}[/mm]
Das zu lösende Gleichungssystem:
[mm]\pmat{0 & 0 & -\bruch{\wurzel{2}}{2} \\ 0 & 0 & \bruch{\wurzel{2}}{2} \\ -\bruch{\wurzel{2}}{2} & \bruch{\wurzel{2}}{2} & 0}\pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}=\pmat{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
Da die 3.Spalte keine Nullspalte ist, ist [mm]x_{3}[/mm] eindeutig bestimmbar.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Do 03.06.2010 | | Autor: | DavidC |
| Aufgabe | | $ [mm] \pmat{0 & 0 & -\bruch{\wurzel{2}}{2} \\ 0 & 0 & \bruch{\wurzel{2}}{2} \\ -\bruch{\wurzel{2}}{2} & \bruch{\wurzel{2}}{2} & 0}\pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}=\pmat{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] $ |
$ [mm] \pmat{0 & 0 & -\bruch{\wurzel{2}}{2} \\ 0 & 0 & \bruch{\wurzel{2}}{2} \\ -\bruch{\wurzel{2}}{2} & \bruch{\wurzel{2}}{2} & 0}\pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}=\pmat{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] $
ich hab dann den Gauß angewendet und bekomm dann eine nullzeile ... da muss ich ja dann was frei wählen .
ich hab beispielsweise jetzt die erste Zeile mit der 2 zeile addiert. dann bekomme ich eine Nullzeile heraus . und wenn ich da eins frei wähle bringt es mich irgendwie nicht weiter . wie kann man da jetzt vorgehen ? bin ich vielleicht irgendwie blind und überseh da was ?
|
|
|
| |
|
Hallo DavidC,
> [mm]\pmat{0 & 0 & -\bruch{\wurzel{2}}{2} \\ 0 & 0 & \bruch{\wurzel{2}}{2} \\ -\bruch{\wurzel{2}}{2} & \bruch{\wurzel{2}}{2} & 0}\pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}=\pmat{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]\pmat{0 & 0 & -\bruch{\wurzel{2}}{2} \\ 0 & 0 & \bruch{\wurzel{2}}{2} \\ -\bruch{\wurzel{2}}{2} & \bruch{\wurzel{2}}{2} & 0}\pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}=\pmat{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
>
> ich hab dann den Gauß angewendet und bekomm dann eine
> nullzeile ... da muss ich ja dann was frei wählen .
> ich hab beispielsweise jetzt die erste Zeile mit der 2
> zeile addiert. dann bekomme ich eine Nullzeile heraus . und
> wenn ich da eins frei wähle bringt es mich irgendwie nicht
> weiter . wie kann man da jetzt vorgehen ? bin ich
> vielleicht irgendwie blind und überseh da was ?
Nun, aus der erzeugten Nullzeile folgt zunächst mal
[mm]x_{1}=s, \ x_{2}=z , \ x_{3}=u, \ s,t,u \in \IR[/mm]
Setzt Du dies in die erste Zeile ein, so folgt:
[mm]0*s+0*t+\left(-\bruch{\wurzel{2}}{2}\right)*u=0[/mm]
Woraus sich u bestimmen lässt.
Zu guter letzt, setzt Du das in die verbliebene Zeile ein.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:49 Do 03.06.2010 | | Autor: | DavidC |
heißt das, dass x3 dann gleich 0 ist ?
|
|
|
| |
|
Hallo DavidC,
> heißt das, dass x3 dann gleich 0 ist ?
So ist es.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 Do 03.06.2010 | | Autor: | DavidC |
aber x1 und x2. es belibt doch nur dann eine gleichung mit 2 variablen übrig
|
|
|
| |
|
Hallo DavidC,
> aber x1 und x2. es belibt doch nur dann eine gleichung mit
> 2 variablen übrig
Ja.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:26 Do 03.06.2010 | | Autor: | DavidC |
wie soll man dann eine GLeichung mit 2 variablen lösen ? das einzige was man machen kann ist eine Variable frei wählen
oder ist die einzige lösung nur die triviale Lösung??
|
|
|
| |
|
Hallo DavidC,
> wie soll man dann eine GLeichung mit 2 variablen lösen ?
> das einzige was man machen kann ist eine Variable frei
> wählen
> oder ist die einzige lösung nur die triviale Lösung??
Nun, wenn Du eine Gleichung mit 2 Variablen hast,
kannst Du eine davon frei wählen.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:04 Do 03.06.2010 | | Autor: | DavidC |
was hast du da raus ? ich hab immer noch zwei Parameter ...
|
|
|
| |
|
> was hast du da raus ? ich hab immer noch zwei Parameter ...
Hallo,
Du hattest die Matrix $ [mm] \pmat{0 & 0 & -\bruch{\wurzel{2}}{2} \\ 0 & 0 & \bruch{\wurzel{2}}{2} \\ -\bruch{\wurzel{2}}{2} & \bruch{\wurzel{2}}{2} & 0} [/mm] $, für welche Du eine basis des Kerns bestimmen wolltest.
Durch passende Multiplikation erhält man daraus
[mm] \pmat{0&0&-1\\0&0&1\\-1&1&0} [/mm] ,
und dann die ZSF
[mm] \pmat{1&-1&0\\0&0&1\\0&0&0}.
[/mm]
Die führenden Elemente der Nichtnullzeilen stehen in Spalte 1 und 3, daher kann man die 2. variable frei wählen und erhält
[mm] x_2:=t, [/mm]
aus der dritten Zeile
[mm] x_3=0, [/mm] und aus der ersten Zeile
[mm] x_1=x_2=t.
[/mm]
Damit haben die Elemente des Kerns, also die des Eigenraumes zum Eigenwert 2, die gestalt
[mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{t\\t\\0}=t*\vektor{1\\1\\0}.
[/mm]
[mm] \vektor{1\\1\\0} [/mm] ist eine basis des Eigenraumes zum Eigenwert 2.
Die anderen Eigenräume kannst Du jetzt genauso bearbeiten.
Rückfragen bitte mit lückenlos nachvollziehbaren und einwandfrei lesbaren Rechnungen - bei Problemen mit der Dbarstellung hilft sicher ein Klick auf "Quelltext" bei meinem Post.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
