Besten Schätzer finden < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:41 Mo 02.11.2009 | | Autor: | daTidus |
| Aufgabe | | [mm] X_1,...,X_n [/mm] iid, integrierbar, gemeinsame Verteilung [mm] W_\alpha [/mm] ist unbekannt. Es sei L die quadratische Verlustfunktion. Bestimme für [mm] \gamma(\alpha) [/mm] = [mm] E_\alpha(X_1) [/mm] unter den erwartungstreuen Schätzern der Form [mm] \delta :\IR^n \to \IR [/mm] , x [mm] \mapsto \summe_{i=1}^{n} a_i*x_i [/mm] , [mm] a_i \in [/mm] [0,1] einen gleichmäßig besten Schätzer |
Hallo,
ich habe schon mit der Aufgabe angefangen, komme aber an einer stelle nicht weiter.
Sei erstmal [mm] \alpha_0 [/mm] der (nicht bekannte) Erwartungswert der zufallsvariablen [mm] X_i
[/mm]
Es gilt ja
[mm] L(\delta,\alpha_0) [/mm] = [mm] E_\alpha((\delta-\alpha_0)^2), [/mm] dies ist die quadratische Verlustfunktion, ein wenig rechnen ergibt, da [mm] E_\alpha(\delta)= E_\alpha(X_1):
[/mm]
[mm] L(\delta,\alpha_0) [/mm] = [mm] E_\alpha(\delta^2) [/mm] - [mm] 2*\alpha_0*E_\alpha(X_1) [/mm] + [mm] \alpha_0^2
[/mm]
Dabei sind die letzten beiden Summanden für alle [mm] \delta [/mm] identisch, man muss also [mm] E_\alpha(\delta^2) [/mm] minimieren.
Aufgrund der erwartungstreue der Schätzer kann man über die [mm] a_i [/mm] aussagen, dass
[mm] \summe_{i=1}^{n} a_i [/mm] = 1.
An dieser Stelle weiß ich nicht, wie ich weiter vorgehen soll.
Ich hoffe mal, dass bis jetzt alles richtig ist.
daTidus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:47 Di 03.11.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin daTidus,
wegen $ [mm] \summe_{i=1}^{n} a_i [/mm] = 1$ und der Unabhaengigkeit ist
[mm] $L(\delta,\alpha_0) [/mm] = [mm] \operatorname{E}_\alpha((\summe_{i=1}^{n} a_ix_i -\alpha_0)^2)= \operatorname{E}_\alpha(\summe_{i=1}^{n} (a_i(x_i -\alpha_0))^2) =\summe_{i=1}^{n} a_i^2\operatorname{E}_\alpha((x_i -\alpha_0)^2) [/mm] $.
Unterstellt man, dass die Varianz [mm] $\operatorname{E}_\alpha((x_i $-\alpha_0)^2)$ [/mm] existiert (steht nicht nicht in Voraussetzung oder?), so erkennt man, dass [mm] $\sum a_i^2$ [/mm] unter Nebenbedingung
$ [mm] \summe_{i=1}^{n} a_i [/mm] = 1$ zu minimieren ist.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:47 Di 03.11.2009 | | Autor: | daTidus |
Morgen luis,
Danke schon einmal für den hilfreichen Beitrag.
Also von quadratischer Integrierbarkeit der Zufallsvariablen ist in der Aufgabenstellung nichts gesagt.
Zu dem Optimierungsproblem:
Für n=2 kann ich beweisen, dass die einzelnen [mm] a_i [/mm] die Gestalt 1/n besitzen müssen, für größeres n ist mir das anschaulich auch klar.
Wie ein Beweis aufgebaut sein könnte, das weiß ich leider nicht, hab bis jetzt auch noch keine Vorlesung besucht, die sich mit Optimierung unter Nebenbedingungen auseinandersetzt. Ich hoffe mal, das ist hier auch nicht unbedingt notwendig?
daTidus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:32 Di 03.11.2009 | | Autor: | luis52 |
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> Wie ein Beweis aufgebaut sein könnte, das weiß ich leider
> nicht, hab bis jetzt auch noch keine Vorlesung besucht, die
> sich mit Optimierung unter Nebenbedingungen
> auseinandersetzt. Ich hoffe mal, das ist hier auch nicht
> unbedingt notwendig?
Nein, es gibt hier einen alten Trick: Wende mal die Regeln von Jacob Erasmus Binomi an auf [mm] $\sum a_i^2=\sum(a_i-1/n+1/n)^2$.
[/mm]
vg Luis
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