Beste Lineare Vorhersage < Versicherungsmat < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm] X,Y\in L^2 [/mm] zwei reellwertige Zufallsvariablen. Der Schätzer [mm] \hat{X}, [/mm] welcher den quadratischen Prognosefehler [mm] E[(X-Z)^2] [/mm] über alle Schätzer der Form Z=aY+b mit [mm] a,b\in\IR [/mm] minimiert, heißt beste lineare Vorhgersage. Zeige:
[mm] \hat{X}=\frac{Cov[X,Y]}{Var[Y]}Y+(E[X]-\frac{Cov[X,Y]}{Var[Y]}E[Y]) [/mm] |
Guten Abend,
ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter. Bisher habe ich
[mm] E[(X-Z)^2]= E[(X-aY+b)^2]=E[X^2]-2E[X]+a^2E[Y^2]-2aE[Y]+2abE[Y]-2b-b^2
[/mm]
Weil [mm] X,Y\in L^2 [/mm] kann ich wenn ich das oben ableite, Integral und Ableitung vertauschen, also in den Erwartungswert reinziehen. Aber ich weiß die Dichtefunktion von X und Y nicht, wie kann ich dann zB [mm] \integral_{}^{}{f_X(w)X^2(w) dw} [/mm] ableiten? Meine Idee ist, ableiten und Null setzen.
Außerdem habe ich dann ungeformt
[mm] \hat{X}=\frac{E[X]E[Y^2]+YE[XY]-E[Y]E[XY]-YE[X]E[Y]}{E[Y^2]-E[Y]^2}
[/mm]
aber auch damit komme ich nicht weiter.
Danke für eure Hilfe.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:20 Mi 18.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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