Besprechung meiner Klausur < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:38 Do 13.04.2006 | | Autor: | Anna_M |
Guten Abend erst einmal! :)
Ich war vor einigen Wochen bezüglich der Vorbereitung für diese Klausur hier und nun würde ich sie gerne besprechen, zumindest einige Teile von ihr.
Das war unsere Klausur, es kam so einiges vor, was wir als Aufgabentyp vorher nicht besprochen hatten und was ich auch leider deshalb zum Teil nicht konnte.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ging leider nicht als JPG-Datei.
Eine Frage schon mal im voraus: Ist [mm] e^{0} [/mm] = 1 , wenn nicht, habe ich nämlich bereits einige Fehler, bis dahin will ich auch nicht präsentieren.
Wäre schön, wenn mir jemand erst einmal diese Frage beantworten könnte, danach fange ich an, die Ergebnisse zu präsentieren.
Danke im voraus.
Anna.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:47 Do 13.04.2006 | | Autor: | Disap |
> Guten Abend erst einmal! :)
Hallo.
> Ich war vor einigen Wochen bezüglich der Vorbereitung für
> diese Klausur hier und nun würde ich sie gerne besprechen,
> zumindest einige Teile von ihr.
>
> Das war unsere Klausur, es kam so einiges vor, was wir als
> Aufgabentyp vorher nicht besprochen hatten und was ich auch
> leider deshalb zum Teil nicht konnte.
>
> http://home.arcor.de/Chi_chan8/mathe.pdf
>
> (Geht am besten erst auf http://home.arcor.de/Chi_chan8/
> und dann auf "mathe.pdf")
Die Datei gibts gar nicht - jedenfalls für mich nicht sichtbar.
>
> Ging leider nicht als JPG-Datei.
>
> Eine Frage schon mal im voraus: Ist [mm]e^{0}[/mm] = 1 , wenn nicht,
> habe ich nämlich bereits einige Fehler, bis dahin will ich
> auch nicht präsentieren.
[mm] e^0 [/mm] ist gleich 1, das ist richtig. Auch wenn es [mm] a^0 [/mm] wäre mit a [mm] \in \IR, [/mm] also für alle reelen Zahlen, würde da 1 herauskommen. Das sagen dir die Potenzgesetze.
> Wäre schön, wenn mir jemand erst einmal diese Frage
> beantworten könnte, danach fange ich an, die Ergebnisse zu
> präsentieren.
>
> Danke im voraus.
> Anna.
mfG!
Disap
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:10 Do 13.04.2006 | | Autor: | Disap |
Und was willst du hier nun genau wissen? Also so weit ich das überblicke, gehören die Bilder 001.jpg etc. als Ansatz dazu?
1a ist aber z. B. nicht zu ende gerechnet, also was willst du genau wissen?
Gruß
Disap
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:17 Do 13.04.2006 | | Autor: | Anna_M |
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:24 Do 13.04.2006 | | Autor: | Anna_M |
Gut, jetzt kann ich mit der Präsentation einiger Ergebnisse beginnen:
Wäre nett, wenn das jemand auf Richtigkeit kurz überprüfen könnte:
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Aufgabe 1 a, 2 a und c, 4 a und die Ableitungen der Funktion in Aufg. 4 konnte ich selbstständig.
Ich formuliere meine Fragen in Kurzform:
Was habe ich bei dem Nachweis der Stammfunktion falsch gemacht (ich habe nur den Ansatz noch einmal hingeschrieben)?
Aufgabe 2b : Ansatz: Schnittpunkt mit x-Achse: N(-1/0)
Wie rechnet man nun weiter?
Aufgabe 3: Ich finde leider keinen Ansatz...
Aufgabe 4 b: Bedingung für das Minimum: f´´(x) < 0 ?
Vielen Dank im voraus für eure Hilfe.
Schöne Grüße,
Anna.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 4 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:10 Do 13.04.2006 | | Autor: | PottKaffee |
zur Aufgabe 3)
Ich vermute mal das das Newtonsche Abkühlungsgesetz wie folgt da steht.
[mm] T = T_0 e^{-kt} [/mm]
Als erstes würde ich mit den Angaben aus dem Aufgabentext [mm] k [/mm] berechnen und zwar so:
[mm] 105° = 120° e^{-k \cdot 1min} [/mm]
[mm] => k = -ln(\bruch{105°}{120°}) [/mm]
Somit kann ich nun für den zweiten Teil der Aufgabe die Zeit berechnen.
[mm] 60° = 105° e^{ln(\bruch{105°}{120°})t} [/mm]
[mm] => t =\bruch {ln(\bruch{60°}{105°})}{ln(\bruch{105°}{120°})} [/mm]
Jemand anderer Meinung?
MfG
Potti
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:52 Do 13.04.2006 | | Autor: | Disap |
Hallo.
> Wäre nett, wenn das jemand auf Richtigkeit kurz überprüfen
> könnte:
> http://home.arcor.de/Chi_chan8/001.jpg - 1 b
> http://home.arcor.de/Chi_chan8/002.jpg - Nullstellen,
> Extremstellen von 1
> http://home.arcor.de/Chi_chan8/003.jpg - Wendepunkte von 1
> http://home.arcor.de/Chi_chan8/004.jpg - Stammfunktion von
> 2
>
> Aufgabe 1 a, 2 a und c, 4 a und die Ableitungen der
> Funktion in Aufg. 4 konnte ich selbstständig.
>
> Ich formuliere meine Fragen in Kurzform:
>
> Was habe ich bei dem Nachweis der Stammfunktion falsch
> gemacht (ich habe nur den Ansatz noch einmal
> hingeschrieben)?
>
Also bei 1b ist ein Fehler in der zweiten bzw. dritten Zeile.
In der zweiten steht
$2x-1 = ln (18)$ ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Um nun die eins auf die andere Seite zu bekommen, musst du beide Seiten mit plus 1 erweitern
$2x-1+1 = ln(18)+1$
$2x = [mm] ln(18)\red{+1}$
[/mm]
Bei dir steht da minus eins..
Und was ist mit 1c?
Konntest du die nicht?
Dann solltest du entweder von allen Zahlen tatsächlich den ln ziehen, wird ein wenig krum das ganze dann, dann hast du "schöne" Vorfaktoren.
Oder du teilst alles durch ln(3), der ln(3) geteilt durch ln(3) ist praktischerweise 1. Das hilft schon mal, um den Vorfaktor vor den Klammern mit den X wegzubekommen.
MfG!
Disap
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:16 Do 13.04.2006 | | Autor: | Disap |
Hi again.
Die Nullstelle x=-1 ist richtig! Aber für die Zukunft kannst du dir Merken, dass wenn du die Nullstellen berechnest mit der Bedingung f(x) = [mm] \red{0}, [/mm] dann ist der zugehörige Y-Wert immer null, das besagt die null in rot. Natürlich kannst du das dann als Probe noch einmal einsetzen. Ist aber in der Aufgabe nicht gefragt und kostet Zeit.
Die Ableitung und die Koordinate für das Extrema stimmt auch.
Aber dann stimmts leider nicht mehr,
die erste Ableitung war noch richtig.
f'(x) = [mm] e^{-2x}*(-0.5-x)
[/mm]
f''(x) = - [mm] 2e^{-2x}*(-0.5-x)-1*e^{-2x}
[/mm]
f''(X) = [mm] e^{-2x}*(1+2x)-1*e^{-2x}
[/mm]
f''(x) = [mm] e^{-2x}*2x
[/mm]
f''(-0.5) <0 => Hochpunkt
Äh, ich weiß nicht, ob die Ableitung bei dir stimmt, aber du hast da stehen
[mm] \red{-}e^{-2x}, [/mm] da schreibst du, das wäre größer Null, du hast das Minus übersehen.
Die Koordinate des Hochpunktes (alleine daran hättest du schon erkennen können, dass Tiefpunkt nicht richtig ist) ist richtig.
Warum berechnest du die Wendepunkte? Die sind doch gar nicht gefragt.
Ah, da stehts ja auch, deine Ableitung war richtig!
Wendepunkt x=0 stimmt, f'''(0) = 2, auch richtig! Koordinaten stimmen auch.
Zur Stammfunktion muss ich sagen, da sind zwei kleine Fehler. Zum einen hieß unsere Funktion u(x) = [mm] \red{-}e^{-2x}
[/mm]
daher heißt es nicht [mm] +e^{-2x}*2 [/mm] (beim Bruchauf der rechten Seite). Das muss also minus heißen. Und dann weiß ich auch nicht, wie du auf 64 kommst. Klar, 8*8 ist 64. Aber du kannst einfach sagen, unsere Funktion u(x) lautet eben nicht $ [mm] -e^{-2x}$, [/mm] sondern [mm] \bruch{-e^{-2x}}{8}
[/mm]
und v(x) = (2x+3)
REicht dir das schon? Ich hoffe, du hast dafür Verständnis, dass ich das um 23:10 nicht mehr vorrechne. Wenns Fragen gibt, poste sie hier und wir versuchen sie zu beantworten!
Zu 2b - Der Tangente.
Eine Tangente ist eine Gerade, die die Funktion (einmal) berührt. Das heißt, die Tangente hat im Berührpunkt (der Nullstelle) die selbe Steigung wie die Funktion f(x).
Unsere Tangentengleichung lautet
y=mx+b
(allgemeine Geradengleichung)
der Punkt [mm] N(\red{-1}|\blue{0}) [/mm] ist gegeben, durch den unsere Tangente läuft. Den kannst du also einsetzen.
[mm] \blue{0} [/mm] = [mm] \red{-1}*m+b
[/mm]
Unser m ist die Steigung, die die selbe Steigung sein muss wie bei der Funktion f(x) in diesem Punkt, daher gilt für unser m
m=f'(x)
oder genauer, es gilt ja, dass wir die Steigung an der Stelle x=-1 suchen, dann gilft
m=f'(-1).
Damit bekommst du schön unser m heraus, indem du einfach nur -1 in die erste Ableitung einsetzt. WEnn du das m hast, kannst du das b ermitteln.
Und schon hast du die Tangentengleichung.
Top, dass du Aufgabe 2c selbst lösen konntest. Die Aufgabe finde ich schon etwas spooky. ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
Bis auf ein paar blöde Flüchtigkeitsfehler, die immer ärgerlich sind, hast du das ja ganz gut hingekriegt.
Ich hoffe, ich habe keine Fragen übersehen, ansonsten kannst du noch einmal eine kleine Mitteilung schreiben.
In diesem Sinne,
vG
Disap
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:45 Fr 14.04.2006 | | Autor: | Disap |
Servus.
> Wäre nett, wenn das jemand auf Richtigkeit kurz überprüfen
> könnte:
> http://home.arcor.de/Chi_chan8/001.jpg - 1 b
> http://home.arcor.de/Chi_chan8/002.jpg - Nullstellen,
> Extremstellen von 1
> http://home.arcor.de/Chi_chan8/003.jpg - Wendepunkte von 1
> http://home.arcor.de/Chi_chan8/004.jpg - Stammfunktion von
> 2
>
> Aufgabe 1 a, 2 a und c, 4 a und die Ableitungen der
> Funktion in Aufg. 4 konnte ich selbstständig.
>
> Ich formuliere meine Fragen in Kurzform:
> Aufgabe 3: Ich finde leider keinen Ansatz...
Aufgabe 3 wurde ja von PottKaffee richtig erörtert. Es handelt sich lediglich um eine Zerfallskurve, die genauso gut durch [mm] T=A*b^x [/mm] dargestellt hätte werden können, das e lässt das ganze nur etwas komplizierter aussehen.
> Aufgabe 4 b: Bedingung für das Minimum: f´´(x) < 0 ?
Du meinst wohl das richtige, nur komplett richtig geschrieben ist das nicht.
Du setzt die erste Ableitung gleich null, errechnest das Extrema
$ f'(x) = 0 [mm] \Rightarrow x_E [/mm] = ... $
Und für diesen x-Wert soll gelten
[mm] $f''(x_E) [/mm] < 0 $
Aber ansonsten stimmt das.
Die Funktion f(x) lautet doch in diesem Fall:
$f(x) = [mm] \br{a}{2c}(e^{cx}+e^{-cx}) [/mm] $
Dann ist die aber Achsensymmetrisch
$f(x) = f(-x)$
[mm] $\br{a}{2c}(e^{cx}+e^{-cx}) [/mm] = [mm] \br{a}{2c}(e^{c*(-x)}+e^{-c*(-x)}) [/mm] $
[mm] $\br{a}{2c}(e^{cx}+e^{-cx}) [/mm] = [mm] \br{a}{2c}(e^{-cx}+e^{+c*x}) [/mm] $
Hier ist lediglich das [mm] e^{cx} [/mm] sowie das [mm] e^{-cx} [/mm] miteinander vertauscht. Ändert aber nichts daran, dass der Ausdruck rechts das selbe ist wie der links.
Damit ist die Funktion achsenymmetrisch.
Wobei das Extremum immer bei x=0 liegt.
Und was bleibt jetzt noch unklar?
LG
Disap
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:58 Sa 15.04.2006 | | Autor: | Anna_M |
Ja, ich muss leider sagen, dass ich zum Teil wirklich blöde Fehler gemacht habe...
Danke nochmals für eure Hilfe, ihr habt mir sehr weitergeholfen. :)
Nur eine kurze Frage an Disap:
Ich verstehe nicht so ganz, wie du das bei dem Nachweis der Stammfunktion gemeint hast.
Übrigens hatte ich in der Klausur auch an der Stelle, die du berichtigt hast, Minus geschrieben, nur mein Mathe-Lehrer hat mir das lustigerweise angestrichen... ;)
Ansonsten ist natürlich noch die Aufgabe 4c übrig, die ich mir für den Schluss aufheben wollte.
Ich würde sagen, da muss man mit dem in Aufg. 4b berechneten Minimum weiterarbeiten.
Nur ich habe das mal versucht und irgendwie geht das nicht...
f´(x) = [mm] \bruch{a}{2c}*(ce^{cx} [/mm] - [mm] ce^{-cx})
[/mm]
Wenn man das nun gleich 0 setzen will, dann müsste c = 0 werden, damit das funktioniert, oder? Aber mein Lehrer hat mir hingeschrieben, dass a, c > 0 sind...
Und noch eine kurze Frage:
Ich kam irgendwie nicht so gut zurecht mit der Ableitung der Funktion in 4, kam jedoch auf das richtige Ergebnis...
f(x) = [mm] \bruch{a}{2c}*(e^{cx} [/mm] + [mm] e^{-cx})
[/mm]
Werden dann bei der Ableitung a und c = 1?
a, c = 0 stimmt nicht, oder?
Vielen Dank.
Anna. :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:04 Sa 15.04.2006 | | Autor: | Disap |
Moin moin.
Ansonsten ist natürlich noch die Aufgabe 4c übrig, die ich mir für den Schluss aufheben wollte.
Ich würde sagen, da muss man mit dem in Aufg. 4b berechneten Minimum weiterarbeiten.
Nur ich habe das mal versucht und irgendwie geht das nicht...
f´(x) = $ [mm] \bruch{a}{2c}\cdot{}(ce^{cx} [/mm] $ - $ [mm] ce^{-cx}) [/mm] $
Das lasse ich jetzt mal aus, da bin ich mir im Moment zu unsicher.
> Ja, ich muss leider sagen, dass ich zum Teil wirklich blöde
> Fehler gemacht habe...
> Danke nochmals für eure Hilfe, ihr habt mir sehr
> weitergeholfen. :)
>
>
> Nur eine kurze Frage an Disap:
> Ich verstehe nicht so ganz, wie du das bei dem Nachweis
> der Stammfunktion gemeint hast.
> Übrigens hatte ich in der Klausur auch an der Stelle, die
> du berichtigt hast, Minus geschrieben, nur mein
> Mathe-Lehrer hat mir das lustigerweise angestrichen... ;)
Richtig, du hast minus geschrieben, und es muss plus heißen!
Zur Stammfunktion selbst, die lautete:
F(x) = [mm] \br{-e^{-2x}*(2x+3)}{\blue{8}}
[/mm]
Offensichtlich hat dich bei der Rechnung ja die blaue 8 gestört, ansonsten hättest du sie nicht quadriert. Der ganze Term lässt sich aber auch anders schreiben, da es ein Produkt ist
F(x) = [mm] \br{-e^{-2x}}{8}*(2x+3)
[/mm]
Und das kann man nun ableiten über die Produktregel, indem man einfach sagt:
u = [mm] \br{-e^{-2x}}{8}
[/mm]
v = 2x+3
Ansonsten kann man die ein achtel auch ganz ausklammern... Reicht dir das als Erklärung?
> Ansonsten ist natürlich noch die Aufgabe 4c übrig, die ich
> mir für den Schluss aufheben wollte.
> Ich würde sagen, da muss man mit dem in Aufg. 4b
> berechneten Minimum weiterarbeiten.
> Nur ich habe das mal versucht und irgendwie geht das
> nicht...
> f´(x) = [mm]\red{\bruch{a}{2c}}*(ce^{cx}[/mm] - [mm]ce^{-cx})[/mm]
>
> Wenn man das nun gleich 0 setzen will, dann müsste c = 0
> werden, damit das funktioniert, oder? Aber mein Lehrer hat
> mir hingeschrieben, dass a, c > 0 sind...
Das steht auch so in der Aufgabenstellung. Wäre c= 0, hast du in dem roten Bruch den Ausdruck [mm] \red{\bruch{a}{2*0}} [/mm] - das macht wenig Sinn.
f´(x) = [mm]\bruch{a}{2c}*(\red{c}e^{cx}[/mm] - [mm]\red{c}e^{-cx})[/mm]
Du musst die roten Buchstaben ausklammern, dann ergibt sich
f´(x) = [mm] \bruch{\red{c}*a}{2c}*(e^{cx}- e^{-cx})
[/mm]
Und nun musst du die Klammer betrachten: Satz vom Nullprodukt
[mm] \green{(e^{cx}- e^{-cx}) = 0} \wedge \bruch{\red{c}*a}{2c} [/mm] = 0
Wobei nur das grüne eine sinnvolle Lösung ergibt.
> Und noch eine kurze Frage:
> Ich kam irgendwie nicht so gut zurecht mit der Ableitung
> der Funktion in 4, kam jedoch auf das richtige Ergebnis...
> f(x) = [mm]\bruch{a}{2c}*(e^{cx}[/mm] + [mm]e^{-cx})[/mm]
> Werden dann bei der Ableitung a und c = 1?
> a, c = 0 stimmt nicht, oder?
$f(x) = [mm] \blue{\bruch{a}{2c}}*(e^{cx}+ e^{-cx})$
[/mm]
Der (blaue) Bruch ist einfach nur ein Faktor, der verändert sich beim ableiten nicht, im Gegensatz zu einer Konstanten C
Beispiel
$h(x) = [mm] 3*x^3$
[/mm]
die 3 ist ein Faktor
$h'(x) = [mm] 9x^2$
[/mm]
Bsp 2
$s(x) = [mm] 4x^\red{5}+ [/mm] c$
$s'(x) = [mm] 4*\red{5}x^4 [/mm] + 0 $
die c ist eine konstante, statt c hätte ich auch 17 schreiben können, da das kein Faktor ist und nicht mit einem x zusammenhängt, fällt das c weg.
In unserem Fall
$f(x) = [mm] \blue{\bruch{a}{2c}}*(e^{cx}+ e^{-cx})$
[/mm]
ist der Bruch jedoch ein Faktor, den muss man beachten. Mit der Produktregel
$F(x) = u'*v+v'*u $
ergibt sich für uns
$F(x) = [mm] \blue{\bruch{a}{2c}}*(u'*v+v'*u) [/mm] $
u = [mm] e^{cx}
[/mm]
v = [mm] e^{-cx}
[/mm]
Ableiten kannst du ja selber.
Den Bruch kannst du so lange aussen vor lassen, bis du alles vereinfacht hast.
>
>
> Vielen Dank.
> Anna. :)
LG
Disap
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:07 Sa 15.04.2006 | | Autor: | Disap |
> Ansonsten ist natürlich noch die Aufgabe 4c übrig, die ich
> mir für den Schluss aufheben wollte.
> Ich würde sagen, da muss man mit dem in Aufg. 4b
> berechneten Minimum weiterarbeiten.
> Nur ich habe das mal versucht und irgendwie geht das
> nicht...
> f´(x) = [mm]\bruch{a}{2c}*(ce^{cx}[/mm] - [mm]ce^{-cx})[/mm]
>
> Wenn man das nun gleich 0 setzen will, dann müsste c = 0
> werden, damit das funktioniert, oder? Aber mein Lehrer hat
> mir hingeschrieben, dass a, c > 0 sind...
> Und noch eine kurze Frage:
> Ich kam irgendwie nicht so gut zurecht mit der Ableitung
> der Funktion in 4, kam jedoch auf das richtige Ergebnis...
> f(x) = [mm]\bruch{a}{2c}*(e^{cx}[/mm] + [mm]e^{-cx})[/mm]
> Werden dann bei der Ableitung a und c = 1?
> a, c = 0 stimmt nicht, oder?
Wenn ich mir nicht gerade einen schweren Schnitzer erlaube, liegt das Minimum doch immer bei [mm] x_E [/mm] = 0 . Das wäre dann unsere x-Koordinate für den tiefsten Punkt, der zudem fünf Meter über "Null" sein soll, es ergibt sich der Punkt
P(0|5)
Und zudem die beiden anderen Punkte -> A(100|30); B(-100|30), d. h. die Aufhängepunkte haben einen Abstand von 200m zueinander.
Verwendet ihr einen CAS-Rechner oder benutzt ihr Näherungsverfahren?
Wenn ich ein c und ein a wähle, die genau diese Bedingung erfüllt, ergibt sich nämlich nur
c [mm] \approx [/mm] 0.0248
und a = 5c
Dann läuft die Funktion [mm] f_{a,c}(x) [/mm] genau durch die angesprochenen Punkte. Aber irgendwie scheints das ja nicht zu sein, das scheint mir vom Niveau her etwas zu spooky für euch. ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]")
Also irgendwie verstehe ich da wohl nicht ganz die Aufgabe.
MfG!
Disap
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