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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:18 Fr 06.02.2009 | | Autor: | jumape |
| Aufgabe | Es seien die folgenden Differentialgleichungen gegeben:
i) u'(t)= [mm] 1+(u(t))^3 [/mm] , u(0)=c
ii) u'(t)= 1 [mm] -(u(t))^3 [/mm] , u(0)=c
iii) u'(t)= [mm] \wurzel[3]{u(t)}, [/mm] u(0)=c
Entscheiden Sie für jede Differentialgleichung mit der Begründung, ob die folgenden Aussagen zutreffen.
(a) Jede Lösung der Differentialgleichung existiert für alle [mm] t\ge [/mm] 0.
(b) Fede Löasung der Differentialgleichung endet in endlicher Zeit, d.h. in Abhängigkeit vom Anfangswert u(0)=c gibt es ein [mm] t_c>0, [/mm] so dass u(t) nicht existiert für [mm] t>t_c
[/mm]
(c) Zu jedem Anfangswert u(0)=c gibt es genau eine Lösung.
(d) Es gibt einen Anfangswert u(0)=c mit mehreren Lösungen.
(e) Jede Lösung der Differentialgleichung ist beschränkt auf [mm] [0,\infty), [/mm] d.h. zu jeder Lösung u gibt es ein [mm] M_u>0, [/mm] so dass [mm] |u(t)| |
Es handelt sich um eine Aufgabe aus einer Probeklausur. Die Lösungen der Aufgabe habe ich auch, aber leider weiß ich nicht wie man darauf kommt.
Ich gebe die Lösungen einfach mal an, vielleicht kann mir ja jemand bei dem einen oder anderen Punkt erklären, wie ich darauf komme.
(a): i) nein ii)ja iii)ja
(b): i)ja ii)nein iii)nein
(c): i)ja ii)ja iii) nein
(d) i)nein ii)nein iii)ja
(e): i)nein ii)ja iii)nein
Wobei ich mir bei c gedacht habe dass man die Stetigkeit der Differentialgleichung und die Lipschitzstetigkeit überprüfen muss, welche bei i, ii erfüllt sind aber bei iii nicht, dadurch ergeben sich die antworten zu di und dii schon mit.
Es wäre nett wenn mir jemand helfen könnte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Do 12.02.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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