Beschraenktheit der Ableitung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
kann mir jemand den Zusammenhang zwischen den Mittelwertungleichungen und der Beschraenktheit der Ableitung genauer erklaeren?
Ich weiss ja, dass aus der L-stetigkeit der Funktion die Beschraenktheit der Ableitung folgt. Aber Wie hat man sich das anschaulich vorzustellen und wie könnte man sowas überhaupt beweisen?
Danke schon mal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:45 Mi 15.03.2006 | | Autor: | Sancho |
hi Charlottem, den Beweis, das aus der Lipschitzstetigkeit die Beschränktheit
der Ableitung folgt kann ich dir liefern. Die Funktion ist nach Vorrausetztung
Liptschitz-stetig und diffbar(brauch ich für den MWS) dann gilt für
[mm] f:[a,b] \rightarrow \IR [/mm] f lipschitz-stetig in [a,b] und diffbar in (a,b)
dann gilt:
[mm] \left| f(x) - f(y) \right| \le L \left| x - y \right| [/mm] für [mm] y,x \in [a,b] [/mm] Diese Ungleichung kann man umformen:
[mm] \left| \frac{f(x)-f(y)}{x-y} \right| \le L [/mm] ,da f aber Diffbar ist,
gilt nach dem Mittelwertsatz [mm] \left| \frac{f(x)-f(y)}{x-y} \right| = \left| f'(c) \right| \mbox{für} c \in (a,b) [/mm]. Damit folgt durch einsetzten der beiden Gleichungen die beschränktheit der Ableitung:
[mm] \left| f'(c) \right| \le L [/mm]
Da x,y und damit c beliebig aus dem Intervall [a,b] waren, ist die
Ableitung beschänkt auf [a,b].
Zur anschaulichen Vorstellung hab ich keine Idee.
MFG Sancho
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Hi Sancho,
danke für Deine Antwort,
1. aber der MWS besagt doch nur dass es mindestens einen solchen c gibt
wir können doch nicht so ohne weiteres die beliebig setzen und eine Aussage für alle Elemente aus dem Intervall damit beweisen, oder?
2. Ich meinte eigentlich die Frechet Ableitung in einem Punkt. Die muss ja auch nicht durch die Richtungsableitungen eindeutig best. sein..
Gruss
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Hallo charlottem,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Da würde ich mal folgendes vorschlagen:
[mm]||(f(x+h)-f(x))-f'(x)h||<\epsilon ||h||[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm]-||(f(x+h)-f(x))||+||f'(x)h||<\epsilon ||h||[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm]||f'(x)||*||h||<\epsilon ||h||+||(f(x+h)-f(x))||[/mm]
[mm]||f'(x)||<\epsilon+\bruch{||(f(x+h)-f(x))||}{||h||}[/mm]
viele Grüße
mathemaduenn
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