Beschränkte part. Ableitungen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo ihr,
ich habe in meinem Skript einen Satz zum Zusammenhang zwischen Differenzierbarkeit und Stetigkeit.
Satz: Sei f: [mm] D->\IR [/mm] eine Funktion auf einer offenen Menge [mm] D\subset\IR^n. [/mm] f ist stetig in einem Punkt [mm] x\in [/mm] D, wenn
a) f in D stetig partiell differenzierbar ist, oder wenn
b) f in D partiell differenzierbar ist mit in D beschränkten Ableitungen.
Ich verstehe nicht, was "in D beschränkte Ableitungen" sind. Heißt das, dass die Albeitungen nur für jedes [mm] x\in [/mm] D gültig ist? Das reicht doch auch für eine Funktion [mm] f:D->\IR.
[/mm]
LG regenschirm
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hallo ihr,
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> ich habe in meinem Skript einen Satz zum Zusammenhang
> zwischen Differenzierbarkeit und Stetigkeit.
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> Satz: Sei f: [mm]D->\IR[/mm] eine Funktion auf einer offenen Menge
> [mm]D\subset\IR^n.[/mm] f ist stetig in einem Punkt [mm]x\in[/mm] D, wenn
> a) f in D stetig partiell differenzierbar ist, oder wenn
> b) f in D partiell differenzierbar ist mit in D
> beschränkten Ableitungen.
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> Ich verstehe nicht, was "in D beschränkte Ableitungen"
> sind. Heißt das, dass die Albeitungen nur für jedes [mm]x\in[/mm] D
> gültig ist?
Nein, es bedeutet, dass die partiellen Ableitungen beschränkte Funktionen [mm] $D\rightarrow \IR$ [/mm] sind; dass es also eine Konstante gibt, die den Betrag der partiellen Ableitungen für alle [mm] $x\in [/mm] D$ nach oben beschränkt.
> Das reicht doch auch für eine Funktion [mm]f:D->\IR.[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:40 Mo 09.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo ihr,
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> ich habe in meinem Skript einen Satz zum Zusammenhang
> zwischen Differenzierbarkeit und Stetigkeit.
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> Satz: Sei f: [mm]D->\IR[/mm] eine Funktion auf einer offenen Menge
> [mm]D\subset\IR^n.[/mm] f ist stetig in einem Punkt [mm]x\in[/mm] D, wenn
> a) f in D stetig partiell differenzierbar ist, oder wenn
> b) f in D partiell differenzierbar ist mit in D
> beschränkten Ableitungen.
Der Satz lautet so:
Satz: Sei f: [mm]D->\IR[/mm] eine Funktion auf einer offenen Menge
[mm]D\subset\IR^n.[/mm] f ist differenzierbar in einem Punkt [mm]x\in[/mm] D, wenn
a) f in D stetig partiell differenzierbar ist, oder wenn
b) f in D partiell differenzierbar ist mit in D
beschränkten Ableitungen.
FRED
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> Ich verstehe nicht, was "in D beschränkte Ableitungen"
> sind. Heißt das, dass die Albeitungen nur für jedes [mm]x\in[/mm] D
> gültig ist? Das reicht doch auch für eine Funktion
> [mm]f:D->\IR.[/mm]
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> LG regenschirm
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Hallo,
danke für deine Antwort.
Bei mir im Skript steht aber wirklich "stetig" und der Satz soll auch den Zusammenhang zwischen Differenzierbarkeit und Stetigkeit zeigen.
Wann ist denn eine Funktion mit mehreren Veränderlichen sonst stetig in einem Punkt? Wir haben ansonsten nichts zur Stetigkeit gemacht.
LG regenschirm
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:09 Mo 09.03.2009 | | Autor: | Marcel |
> Hallo,
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> danke für deine Antwort.
> Bei mir im Skript steht aber wirklich "stetig" und der Satz
> soll auch den Zusammenhang zwischen Differenzierbarkeit und
> Stetigkeit zeigen.
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> Wann ist denn eine Funktion mit mehreren Veränderlichen
> sonst stetig in einem Punkt? Wir haben ansonsten nichts zur
> Stetigkeit gemacht.
>
>
> LG regenschirm
Hallo,
naja, da die Differenzierbarkeit die Stetigkeit impliziert, ist die Aussage in Eurem Skript auch richtig. Aber Freds Aussage ist natürlich stärker.
Die Frage, wann eine Funktion in mehreren Veränderlichen stetig ist, kannst Du Dir eigentlich selbst beantworten. Topologisch ist eine Funktion genau dann stetig, wenn Urbilder (unter der gegebenen Funktion) offener Mengen stets wieder offen sind. Das ist allerdings keine schöne 'analytische' Aussage.
Da ihr vermutlich nur Funktionen [mm] $\IR^n \to \IR$, [/mm] jeweils mit der euklidischen Metrik ausgestattet, betrachtet, reicht es zu wissen:
Eine Funktion $f: M [mm] \subset \IR^n \to \IR$ [/mm] ist genau dann stetig in [mm] $x^{(0)} \in [/mm] M$, wenn für jede Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] in $M$, die [mm] $x_n \to x^{(0)}$ [/mm] erfüllt, gilt, dass [mm] $f(x_n) \to f(x^{(0)})\,.$
[/mm]
Und wegen Beispiel 8.10.2 ![[]](/images/popup.gif) aus diesem Skript kannst Du das, im Falle einer reell- oder komplexwertigen Funktion, die auf einer Teilmenge von [mm] $\IR^n$ [/mm] oder [mm] $\IC^n$ [/mm] definiert ist, auch komponentenweise betrachten.
So ist z.B. eine Funktion $f: M [mm] \subset \IC^3 \to \IC$ [/mm] genau dann stetig in [mm] $x^{(0)}=(x^{(0)}_1, x^{(0)}_2, x^{(0)}_3)^T \in M\,,$ [/mm] wenn für alle Folgen [mm] $(x_n)_n,(y_n)_n,(z_n)_n$ [/mm] in [mm] $\IC$ [/mm] so, dass [mm] $(x_n, y_n, z_n)^T \in [/mm] M$ (für alle [mm] $n\,$) [/mm] und [mm] $x_n \to x^{(0)}_1$, $y_n \to x^{(0)}_2$ [/mm] und [mm] $z_n \to x^{(0)}_3$ [/mm] gilt, folgt, dass [mm] $f(x_n,y_n,z_n) \to f(x^{(0)})\,$ [/mm] (jeweils bei $n [mm] \to \infty$).
[/mm]
Die letztstehende 'beispielhafte' Aussage, die sich analog für $M [mm] \subset \IR^n$, [/mm] mit einem festen $n [mm] \in \IN$ [/mm] und wobei [mm] $\IR^n$ [/mm] mit der euklidischen Metrik ausgestattet sei, formulieren läßt, ergibt sich unmittelbar aus Satz 10.7 unter Beachtung von Beispiel 8.10.2...
Gruß,
Marcel
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