Beschränkte Funktion < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:30 Sa 17.11.2007 | | Autor: | jokerose |
| Aufgabe | Sei [mm] f:\IR\to\IR [/mm] eine beschränkte Funktion.
Zeige: [mm] \limes_{x\rightarrow0}x*f(x)=0 [/mm] . |
Kann man diese Aufgabe mit Hilfe des Folgenkriteriums
(Hat f in [mm] x_{0} [/mm] den Grenzwert a [mm] \gdw \forall /x_{n}_{n} [/mm] : [mm] (\limes_{n\rightarrow\infty} x_{n} [/mm] = [mm] x_{0} \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n}) [/mm] = a.)
lösen?
Oder gibt es eine bessere Möglichkeit?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:37 Sa 17.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo jokerose!
Das geht einfacher: $f(x) \ [mm] \text{ist beschränkt}$ [/mm] bedeutet ja $0 \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \left| \ f(x) \ \right| [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ A \ < \ [mm] \infty$ [/mm] .
Und nun einfach in den Grenzwertterm einsetzen und abschätzen:
[mm] $$\limes_{x\rightarrow0}x*f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow0}x*\limes_{x\rightarrow0}f(x) [/mm] \ < \ ...$$
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:53 So 18.11.2007 | | Autor: | jokerose |
Ich habe dann also geschrieben:
[mm] \limes_{x\rightarrow0}(x) [/mm] * [mm] \limes_{x\rightarrow0}f(x) [/mm] = 0 * [mm] \limes_{x\rightarrow0}f(x) [/mm] = 0.
Ist dies korrekt?
Weshalb darf man eingentlich schreiben:
[mm] \limes_{x\rightarrow0}(x*f(x) [/mm] )= [mm] \limes_{x\rightarrow0} [/mm] (x) * [mm] \limes_{x\rightarrow0} [/mm] f(x) ?
Gilt das immer? Oder ist diese Beziehung an gewisse Bedingungen geknüpft?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:06 So 18.11.2007 | | Autor: | jokerose |
Aha ja, das habe ich gezeigt, habe es nur vergessen dies hier rein zu schreiben. Habe einfach gezeigt, dass der Ausdruck [mm] \limes_{x\rightarrow0} [/mm] f(x) nicht [mm] \pm \infty [/mm] sein kann.
Vielen Dank für die tolle Hilfe.
|
|
|
|
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Du musst hier noch die Abschätzung für $f(x)_$ (siehe oben) mit einbauen. Denn wäre [mm] $\limes_{x\rightarrow0}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \pm\infty$ [/mm] , würden wir ja einen unbestimmten Ausdruck [mm] $0*(\pm\infty)$ [/mm] erhalten.
Grenzwertsätze