Beschränkte Abbildung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei V ein normierter Vektorraum von nicht notwendig endlicher Dimension. Sei ||.|| die Operatornorm, ||A|| = sup [mm] \frac{||Av||}{||v||} [/mm] mit v [mm] \neq [/mm] 0.
Zeigen Sie, dass es keine beschränkten A,B [mm] \in End_K(V [/mm] ) mit AB − BA = E gibt.
|
Hallo liebe Helfer!
Ich habe einen Tipp bekommen, dass ich zunächst [mm] AB^k [/mm] − [mm] A^k [/mm] B für ein k [mm] \in \mathbb{N} [/mm] bestimmen soll.
Was genau ich da bestimmen soll, ist mir aber nicht ersichtlich. Ich nehme an, ich muss da die Beschränktheit der Abbildungen verwenden.
$||Av|| [mm] \leq [/mm] M ||v||$ und $||Bv|| [mm] \leq [/mm] N ||v||$.
Ich weiß zudem, dass $||AB|| [mm] \leq [/mm] ||A|| ||B||$
Ok...ich glaube ich merke gerade was :P
[mm] $||AB^k [/mm] - [mm] B^k [/mm] A|| [mm] \leq ||AB^k|| [/mm] + [mm] ||B^k [/mm] A|| [mm] \leq [/mm] ... [mm] \leq [/mm] ||A|| [mm] ||B||^k [/mm] + [mm] ||B||^k [/mm] ||A|| = 2 ||A|| [mm] ||B||^k [/mm] $.
Aber ne...jetzt steh ich wieder auf dem Schlauch. Die erste Abschätzung kommt aus der Dreiecksungleichung, dann folgt iterativ die Submultiplikativität.
Wenn ich jetzt die Beschränktheit verwende, dann ist:
[mm] $||(AB^k [/mm] - [mm] B^k [/mm] A)v|| [mm] \leq [/mm] ... [mm] \leq [/mm] 2 M [mm] N^k [/mm] ||v|| $.
Das heißt, das ganze ist auch beschränkt und ich weiß sogar die Konstante.
Aber jetzt komme ich nicht weiter...hat jemand einen Tipp? Ich nehme an, ich muss auch noch verwenden, dass:
||E|| = 1, als soll sein:
||AB - BA|| = ||1||
Ich denke, das muss ich irgendwie kombinieren...
Vielen dank für die Hilfe!
Grüße und einen schönen Sonntag
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum im Internet gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:43 So 01.06.2008 | | Autor: | andreas |
hi
vermutlich hilft dir das hier.
grüße
andreas
|
|
|
|
