Beschränkt und Stetig < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:38 Mo 27.07.2009 | | Autor: | ulla |
Hallo ich hätte mal zwei Fragen, da ich morgen eine Klausur schreibe und ich total durcheinander komme
1) Beschränktheit: Ich weiß, dass ich da die´obere und untere Grenze berechnen muss. Ich bräuchte allerdings eine Musterlösung die ich vielleicht auf alle Aufgaben anwenden kann, weil ich es leider nicht übertragen kann.
2) Stetigkeit: muss ich da nur den links und rechtsseitigen Grenzwert bestimmen??
Bitte kann mir jemand schnell antworten, bin am verzweifeln.
Danke
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:55 Mo 27.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Beschraenkt: Beispiele:
[mm] f(x)=x^2 [/mm] x aus [mm] \IR f(x)\ge [/mm] 0also nach unten beschraenkt.
f(x)=sin(x) gewusst [mm] -1\le [/mm] sin(x) [mm] \le [/mm] +1 also obere und untere Schranke
jetzt untersuch mal [mm] f(x)=x^2+7 f(x)=(x+7)^2 [/mm] und [mm] f(x)=5sin^2(x)+2
[/mm]
Lernen kann man nur durch tuen.
Stetigkeit, rechts und linksseitiger GW muessen gleich UND GLEICH dem Funktionswert sein.
Wenn ihr schon von ner menge fkt. die stetigkeit gezeigt habt, dann verwende dass addition, Multiplikation, Komposition von stet fkt wieder stetig sind und division, solange die nennerfkt nicht 0 wird. Nur an den stellen musst du untersuchen, ob man stetig ergaenzen kann oder nicht. an ner Stelle, an der ne fkt nicht definiert ist (also Nullstelle des Nenners kann man nicht von stetigkeit reden, nur falls an der stelle ein Funktionswert vorgegeben ist.
Allerdings muesst ihr doch schon ne menge von Bsp. gemacht haben, so dass deine Frage 1 tag vor der Klausur etwas befremdlich ist.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 Mo 27.07.2009 | | Autor: | ulla |
Danke für deine Antwort.
Beschränkt:
bei solchen funktionen finde ich es relativ einfach mir das ganze vorzustellen. Deine erste Gleichung ist nach unten beschränkt und die zweite nach unten und oben
Mein Problem ist es den Rechenweg dazu zu finden??? Ich versteh nämlich das mit dem [mm] \le [/mm] s nicht so wie es die Definition vorgibt!
Stetigkeit: wir haben das zwar gemacht aber ich finde so wir es gemacht wurde bringt es mich durcheinander. Wenn ich nur den rechts und linksseitigen Grenzwert berechenen muss dann müsste ich es hinbekommen.
Kannst du mir wieder eine Erklärung geben . Danke
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Hallo, im 1. Teil ist der Wertebereich zu bestimmen, löse doch mal die Beispiele von leduart, was bei euch "s" ist, solltest du schon sagen, im 2. Teil sind der links- und rechtsseiteige Grenzwert zu untersuchen, die übereinstimmen müssen und gleich dem Funktionswert an der jeweiligen Stelle sein müssen, stelle doch mal eine Übungsaufgabe von euch vor, welche konkreten Fragen hast du dazu, Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 Mo 27.07.2009 | | Autor: | ulla |
also zu [mm] (x+7)^{2} [/mm] würde ich sagen ist nach unten beschränkt und [mm] 5sin^{2}(x)+2 [/mm] ist nach oben und unten beschränkt. Leider kann ich diese Beschränkung nur abschätzen da ich nicht weiß wie ich es berechnen soll. Kannst du mir da bitte ein beispiel machen?
Zu Stetigkeit habe ich ein beispiel:
f(x) = [mm] cos(\bruch{\pi}{2})für [/mm] x ungleich o und für x gleich 0 ist f(x) = 0.
Meine Rechenüberlegung ist:
rechts und linksseitiger Grenzwert gehen gegen 0 und somit ist die Funktion nicht stetig weil für null die Funktion 0 ist?
Kannst du mir da weiterhelfen?
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Hallo
[mm] f(x)=(x+7)^{2}
[/mm]
hier sollte dir die Funktion [mm] f(x)=x^{2} [/mm] bekannt sein, +7 bewirkt eine Verschiebung entlang der x-Achse um sieben Einheiten nach links, der Scheitelpunkt lautet also (-7;0) jetzt sollte es nicht mehr kompliziert sein
[mm] f(x)=5*sin^{2}(x)+2
[/mm]
hier sollte dir die Funktion f(x)=sin(x) bekannt sein, -1 [mm] \le [/mm] sin(x) [mm] \le [/mm] 1, [mm] f(x)=sin^{2}(x), [/mm] durch das Quadrat gibt es keine negativen Funktionswerte, denn "minus mal minus ist plus" 0 [mm] \le sin^{2}(x) \le [/mm] 1, [mm] f(x)=5*sin^{2}(x), [/mm] der Faktor 5 bewirkt eine Veränderung des Wertebereiches um den Faktor 5,
0 [mm] \le 5*sin^{2}(x) \le [/mm] 5, jetzt zu [mm] f(x)=5*sin^{2}(x)+2, [/mm] der Summand zwei bewirkt eine Verschiebung der Funktion um zwei Einheiten entlang der y-Achse nach oben, 2 [mm] \le 5*sin^{2}(x)+2 \le [/mm] 7,
gebe bitte im nächsten Beispiel mal genau deine Funktion an, es handelt sich bei dir um eine Konstante,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 Mo 27.07.2009 | | Autor: | ulla |
danke für die Antwort.
Leider ist bei mir alles übereinandergeschrieben, kann es nicht gut entziffern. Aber ich denke ich versteh es. Also kann ich bei jéder noch so komplizierten funktion einfach nach dem Definitionsbereich schauen und das ist dann meine Schranke?
Achso entschuldigung da stand noch : g(x) = [mm] x^{2} [/mm] f(x) sonst wurde nichts angegeben . [mm] \IR ->\IR.
[/mm]
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:59 Mo 27.07.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> danke für die Antwort.
> Leider ist bei mir alles übereinandergeschrieben, kann es
> nicht gut entziffern. Aber ich denke ich versteh es. Also
> kann ich bei jéder noch so komplizierten funktion einfach
> nach dem Definitionsbereich schauen und das ist dann meine
> Schranke?
Nicht der Definitionsbereich D sondern die Wertemenge [mm] \IW [/mm] ist für die Schranke von Interesse.
Ist [mm] \IW [/mm] nicht [mm] \{y\in\IR|y\in]-\infty<\infty[\} [/mm] gibt es eine solche Schranke.
>
> Achso entschuldigung da stand noch : g(x) = [mm]x^{2}[/mm] f(x)
> sonst wurde nichts angegeben . [mm]\IR ->\IR.[/mm]
Das hilft so nicht viel weiter, wenn du f(x) nicht angibst.
>
> Danke
Marius
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:05 Mo 27.07.2009 | | Autor: | ulla |
Ok also der Wertebereich. Kannst du mir das bitte mal mit den einzelnen Schritten vorrechnen? Weil ich das nicht hinbekomme, hört sich zwar blöd an aber ist so!
Bei dieser Aufgabenstellung wurde sonst nichts angegeben und ich hab dazu nur solche Aufgabenstellungen. Kannst du mir da eventuell eine Erklärung geben wie ich das ansonsten ausrechenen kann?
Danke für die Hilfe!
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Hallo, ich denke, ich habe vorhin recht ausführlich die beiden Funktionen [mm] f(x)=(x+7)^{2} [/mm] und [mm] f(x)=5*sin^{2}(x)+2 [/mm] erklärt, du solltest dich schon genau außern welche Schritte dir unklar sind, zum 2. Teil können wir leider immer noch nichts sagen, du solltest uns die exakte Aufgabenstellung mitteilen, Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:45 Mo 27.07.2009 | | Autor: | ulla |
Die Aufgabenstellung lautet:
Die Funktionen f und g : [mm] \IR ->\IR [/mm] seien definiert durch
f(x) = [mm] cos(\bruch{\pi}{x}) [/mm] , x ungleich 0 und 0, x gleich 0
und g(x)= [mm] x^{2} [/mm] * f(x). Untersuchen sie f und g auf Stetigkeit. Existiert [mm] f(0^{+})?
[/mm]
Wenn ich dazu eine einfache erklärung bekommen könnte habe ich es eventuell verstanden. Wie gesagt ich muss den rechts und linksseitigen Grenzwert bestimmen.
Ich würde sagen beide Grenzwerte sind für f= 1 und deshalb ist f stetig. bei g weiß ich nicht genau wie ich es einsetzten muss aber da denke ich auch dass die Grenzwerte gegen 1 gehen. Stimmt das??
Und wie ich [mm] f(0^{+}) [/mm] bestimme weiß ich nicht.
Danke für die Hilfe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:52 Mo 27.07.2009 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo, bei f(x) handelt es sich doch nur um eine Konstante, wo ist dein x???? Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:38 Mo 27.07.2009 | | Autor: | ulla |
ohhh sorry ich schreib die ganze Zeit [mm] \bruch {\pi}{2}
[/mm]
die 2 ist natürlich ein x
tut mir leid!
Kannst du mir nun weiterhelfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:57 Mo 27.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. ist das ne Frage aus der Schule oder Uni, FH oder..
bitte fuell dein Profil aus.
[mm] f(x)=cos(\pi/x) [/mm] fuer x gegen 0 springt x wild zwischen allen Werten zwischen +1 und -1 herum/ nimmt man die folge [mm] x_n=1/n [/mm] dann ist [mm] f(x_n)=cos(n*\pi) [/mm] fuer n gerade +1, fuer n ungerade -1, d.h. der GW fuer [mm] x_n [/mm] gegen 0 existiert nicht. die fkt ist in 0 unstetig. wegen cos(a)=cos(-a) muss man rechts und linkseitigen GW. nicht einzeln untersuchen.
2. Schritt: [mm] x^2*cos(\pi/x) [/mm] da [mm] |cos(\pi/x)|\le [/mm] fuer alle x gilt [mm] |x^2*cos(\pi/x)|\le x^2 [/mm] und da [mm] x^2 [/mm] fuer x gegen 0 gegen 0 konvergiert konvergiert auch [mm] x^2*cos(\pi/x) [/mm] gegen 0
Ich weiss nicht wie genau ihr steigkeitsbeweise gefuehrt habt. Mit [mm] \epsilon \delta [/mm] Argumenten?
dann |f(x)-f(0)| < [mm] \epsilon [/mm] heisst [mm] |x^2*cos(\pi/x)-0|<\epsilon [/mm] wegen [mm] |x^2*cos(\pi/x)-0|\le x^2 [/mm] kann man [mm] \delta=\wurzel{\epsilon} [/mm] waelen dann gilt fuer |x-0|< [mm] \delta =\wurzel{\epsilon} |x^2*cos(\pi/x)-0|\le x^2<\epsilon
[/mm]
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:02 Di 28.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Leduart,
> Hallo
> 1. ist das ne Frage aus der Schule oder Uni, FH oder..
> bitte fuell dein Profil aus.
> [mm]f(x)=cos(\pi/x)[/mm] fuer x gegen 0 springt x wild zwischen
> allen Werten zwischen +1 und -1 herum/ nimmt man die folge
> [mm]x_n=1/n[/mm] dann ist [mm]f(x_n)=cos(n*\pi)[/mm] fuer n gerade +1, fuer n
> ungerade -1, d.h. der GW fuer [mm]x_n[/mm] gegen 0 existiert nicht.
> die fkt ist in 0 unstetig. wegen cos(a)=cos(-a) muss man
> rechts und linkseitigen GW. nicht einzeln untersuchen.
> 2. Schritt: [mm]x^2*cos(\pi/x)[/mm] da [mm]|cos(\pi/x)|\le[/mm] fuer alle x
> gilt [mm]|x^2*cos(\pi/x)|\le x^2[/mm] und da [mm]x^2[/mm] fuer x gegen 0
> gegen 0 konvergiert konvergiert auch [mm]x^2*cos(\pi/x)[/mm] gegen
> 0
> Ich weiss nicht wie genau ihr steigkeitsbeweise gefuehrt
> habt. Mit [mm]\epsilon \delta[/mm] Argumenten?
> dann |f(x)-f(0)| < [mm]\epsilon[/mm] heisst
> [mm]|x^2*cos(\pi/x)-0|<\epsilon[/mm] wegen [mm]|x^2*cos(\pi/x)-0|\le x^2[/mm]
> kann man [mm]\delta=\wurzel{\epsilon}[/mm] waelen dann gilt fuer
> |x-0|< [mm]\delta =\wurzel{\epsilon} |x^2*cos(\pi/x)-0|\le x^2<\epsilon[/mm]
nichts für ungut, aber würdest Du nächstes Mal bitte abwarten, bis jemand seine Antwort auf die Frage beendet hat, bevor Du eine derartige Mitteilung verfasst?
Im Prinzip schreibst Du nun hier genau das gleiche wie ich hier, bis auf die Tatsache, dass die Fragen, die ich - um zur Mitarbeit anzuspornen - gestellt habe, nun i.W. von Dir hier auch mitbeantwortet werden. Insofern hätte ich mir eigentlich die ganze Antwort und die entsprechende Zeit sparen können.
(Naja, immerhin: Wenigstens die Plotts waren ihre Zeit noch Wert  . )
P.S.:
In
> dann |f(x)-f(0)| < [mm]\epsilon[/mm] heisst
> [mm]|x^2*cos(\pi/x)-0|<\epsilon[/mm]...
solltest Du [mm] $f\,$ [/mm] durch [mm] $g\;$ [/mm] ersetzen. Es war ja [mm] $g(x)=x^2*f(x)$...
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:52 Mo 27.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Die Aufgabenstellung lautet:
> Die Funktionen f und g : [mm]\IR ->\IR[/mm] seien definiert durch
> f(x) = [mm]cos(\bruch{\pi}{x})[/mm] , x ungleich 0 und 0, x
> gleich 0
>
> und g(x)= [mm]x^{2}[/mm] * f(x). Untersuchen sie f und g auf
> Stetigkeit. Existiert [mm]f(0^{+})?[/mm]
klar ist, dass [mm] $f\,$ [/mm] als Komposition auf [mm] $\IR \setminus \{0\}$ [/mm] stetiger Funktionen auch stetig auf [mm] $\IR \setminus \{0\}$ [/mm] ist. Es ist noch zu prüfen, ob [mm] $f\,$ [/mm] auch stetig in [mm] $0\,$ [/mm] ist.
Alleine aber durch Betrachten der Folge [mm] $(x_n)_n$, [/mm] definiert durch
[mm] $$x_n:=\frac{1}{n}\;\;\;(n \in \IN)$$
[/mm]
erkennst Du aber, dass [mm] $f\,$ [/mm] in [mm] $0\,$ [/mm] nicht stetig sein kann (genauer sogar: Dass [mm] $f\,$ [/mm] in [mm] $0\,$ [/mm] nicht rechtsstetig sein kann). (Mit ![[]](/images/popup.gif) Satz 10.7, Folgerung $b) [mm] \Rightarrow a)\,.$)
[/mm]
Insbesondere solltest Du erkennen, dass hier der rechtsseitige Grenzwert [mm] $\lim_{\substack{x \to 0\\x > 0}}f(x)=f\big(0^{+}\big)$ [/mm] nicht existiert!
> Wenn ich dazu eine einfache erklärung bekommen könnte
> habe ich es eventuell verstanden. Wie gesagt ich muss den
> rechts und linksseitigen Grenzwert bestimmen.
> Ich würde sagen beide Grenzwerte sind für f= 1
Das ist leider falsch. Wie kommst Du zu dieser Behauptung?
> und
> deshalb ist f stetig. bei g weiß ich nicht genau wie ich
> es einsetzten muss aber da denke ich auch dass die
> Grenzwerte gegen 1 gehen. Stimmt das??
Nein. Die Funktion [mm] $g\,$ [/mm] ist übrigens stetig:
Klar ist, dass [mm] $g\,$ [/mm] als Produkt zweier auf [mm] $\IR \setminus \{0\}$ [/mm] stetiger Funktionen (nämlich [mm] $f\,$ [/mm] und der Funktion [mm] $\IR \setminus \{0\}\to \IR,\;x \mapsto x^2$) [/mm] stetig auf [mm] $\IR \setminus \{0\}$ [/mm] ist. Nach Definition von [mm] $f\,$ [/mm] und [mm] $g\,$ [/mm] gilt insbesondere [mm] $g(0)=0^2*f(0)=0^2*0=0*0=0\,.$ [/mm] Nun gilt aber für jedes $x [mm] \in \IR \setminus \{0\}$, [/mm] dass
[mm] $$|g(x)|=|x^2*\cos\Big(\frac{\pi}{x}\Big)| \le x^2$$
[/mm]
ist. Was ist somit [mm] $\lim\limits_{x \to 0}|g(x)|$?
[/mm]
Was folgt daraus für [mm] $\lim\limits_{x \to 0}g(x)$? [/mm] Welcher Zusammenhang besteht nun zwischen dem letztgenannten Limes und dem Funktionswert [mm] $g(0)=0\,$? [/mm]
Warum folgt dann, dass [mm] $g\,$ [/mm] auch stetig in [mm] $0\,$ [/mm] ist? Wieso ist damit gezeigt, dass dann [mm] $g\,$ [/mm] stetig (auf seinem Definitionsbereich, also: [mm] $\IR$) [/mm] ist?
Übrigens, ein zusätzlicher Tipp:
Hier mal die Plotts von [mm] $f\,$ [/mm] bzw. [mm] $g\,$:
[/mm]
$f: x [mm] \mapsto \cos\Big(\frac{\pi}{x}\Big)$ [/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
$g: x [mm] \mapsto x^2*\cos\Big(\frac{\pi}{x}\Big)$ [/mm]
(Insbesondere solltest Du [mm] $f(x_3),\,$ $f(x_4)$ [/mm] und [mm] $f(x_6)$ [/mm] mal ablesen können.)
[Dateianhang nicht öffentlich]
(Wenn Du magst, kannst Du bei dieser Funktion ja auch mal die lokalen Extrempunkte berechnen.)
Gruß,
Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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