Bernoullische Ungleichung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:26 Do 13.09.2007 | | Autor: | Phypro |
| Aufgabe | | Beweisen der bernoullischen Ungleichung mittels vollständiger Induktion |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Der Weg des Beweises ist vielfach nachzulesen...
[mm] $(1+x)^n \ge [/mm] 1+nx$
[mm] $(1+x)^n [/mm] (1+x) [mm] \ge [/mm] (1+nx)(1+x)$
[mm] $(1+x)^{n+1} \ge 1+x+nx+nx^2$
[/mm]
[mm] $(1+x)^{n+1} \ge [/mm] 1+(n+1)x + [mm] nx^2$
[/mm]
[mm] $(1+x)^{n+1} \ge [/mm] 1+(n+1)x$
Aber was ich nicht verstehe, ist der letzte Summand in der vorletzten Zeile: [mm] nx^2. [/mm] Überall steht geschrieben und unser Prof. hat es auch gesagt: [mm] "nx^2 [/mm] ist größer Null, also fällt der Weg. Ich verstehe trotzdem nicht, warum der einfach so wegfallen darf. Dass ich das nicht selber herausfinde, beunruhigt mich schon seit Tagen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:33 Do 13.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Phypro,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Schreiben wir das mal anders auf ... vielleicht wird es Dir dann klar.
Wie beginnen ganz links mit [mm] $(1+x)^{n+1}$ [/mm] und schätzen das nach rechts hin immer durch kleinere Term ab. Dabei verwenden wir entweder die Induktionsvoraussetzung [mm] $(1+x)^n [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ (1+n*x)$ bzw. später die Relation [mm] $n*x^2 [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 0$ :
[mm] $$(1+x)^{n+1} [/mm] \ = \ [mm] \blue{(1+x)^n}*(1+x) [/mm] \ [mm] \blue{\ge} [/mm] \ [mm] \blue{(1+n*x)}*(1+x) [/mm] \ = \ [mm] 1+x+n*x+n*x^2 [/mm] \ = \ 1+(n+1)*x+ \ [mm] \red{n*x^2} [/mm] \ [mm] \red{\ge} [/mm] \ 1+(n+1)*x+ \ [mm] \red{0} [/mm] \ = \ 1+(n+1)*x$$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:43 Do 13.09.2007 | | Autor: | Phypro |
Vielen Denk Loddar, der Groschen ist gefallen.
Mein Blickwinkel ist zurecht gerückt.
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Hi,
mich beschäftigt dieselbe Frage wie dem dem thread-ersteller auch, allerdings ist bei mir noch kein groschen gefallen :/.
Ich verstehe das Prinzip der vollständigen Induktion und mir ist auch klar das [mm] nx^2>=0 [/mm] ist aber ich verstehe trotzdem nicht warum ich das dann einfach wegfallen lassen kann :(.
wäre für hilfe sehr dankbar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:29 Fr 21.09.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Zwei Bemerkungen vorab:
i) [mm] a\ge [/mm] b und [mm] b\ge [/mm] c, kurz geschrieben [mm] a\ge b\ge [/mm] c bedeutet, dass [mm] a\ge [/mm] c.
ii) a, [mm] b\in\IR [/mm] und [mm] b\ge [/mm] 0. Dann ist [mm] a\ge [/mm] a-b, da [mm] a+b\ge [/mm] a, weil [mm] b\ge [/mm] 0. Also wenn man von einer reellen Zahl eine positive Zahl abzieht, dann wird das Ganze kleiner.
[mm] (1+x)^{n+1}\ge 1+(n+1)x+nx^{2}\ge (1+(n+1)x+nx^{2})-nx^{2}=1+(n+1)x.
[/mm]
Gruß,
dormant
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danke dormant, du hast mir sehr geholfen.
sagt mir ob ich mit meiner überlegung richtig liege.
es ist also so dass wenn [mm] nx^2 [/mm] >= 0 ist zwangsläufig auch
[mm] $1+(n+1)x+nx^2$ [/mm] >= $1+(n+1)x$
sein muss und da
[mm] $(1+x)^{n+1}$ [/mm] >= [mm] $1+(n+1)x+nx^2$ [/mm] ist,
ist auch
[mm] $(1+x)^{n+1}$ [/mm] >= $1+(n+1)x$
und dadurch kann zum zwecke des Beweises [mm] nx^2 [/mm] vernachlässigt werden, da es die Ungleichung nicht zu einer falschen aussage machen könnte (vorrausgesetzt [mm] nx^2>=0)
[/mm]
gruß, tommy
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Ja, so hast Du das richtig verstanden.
Die Ungleichung stimmt weiterhin, auch wenn der Term des Anstoßes wegfällt.
Gruß v. Angela
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