Bernoullische Differentialgleichung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:02 So 17.10.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo Leute,
ich habe hier eine Aufgabe vorliegen, bei der ich so gar nicht weiss, wie ich da am besten ansetzen soll:
"Bernoulli-Gleichung
Seien $a(x)$ und $b(x)$ stetige Funktionen auf [mm] $\IR$. [/mm] Aus der Vorlesung wissen sie, dass eine (nicht lineare) Differentialgleichung mit Definitionsbereich $D [mm] \subset \IR \times \IR_{+}^{*}$ [/mm] der Form
$y' + a(x)y + [mm] b(x)y^{\alpha} [/mm] = 0$, [mm] $\alpha \in \IR\setminus\{0,1\}$
[/mm]
"Bernoullische Differentialgleichung" heißt. Jede solche Bernoullische Differentialgleichung läßt sich durch die Substitution $z = [mm] y^{1-\alpha}$ [/mm] (falls zulässig) auf eine lineare Differentialgleichung für $z = z(x)$ zurückführen.
Lösen Sie die Differentialgleichung
$y' - [mm] \bruch{1}{2}x^2y [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}x^2e^{-\bruch{x^3}{3}}y^3 [/mm] = 0$
unter besonderer Berücksichtigung der maximalen Existenzintervalle."
Tja, nun sitz´ ich hier, ich armer Tor und bin so schlau als wie zuvor.
In diesem Fall ist [mm] $\alpha [/mm] = 3$, also sollte man substituieren $z = [mm] y^{-2}$, [/mm] dann könnte man das vielleicht so umformen, dass man eben für $y$ und [mm] $y^{\alpha}$ [/mm] gewisse Potenzen von $z$ rausbekommt, aber was macht man mit dem $y'$?
$z = [mm] y^{-2}$ [/mm] nach $y$ auflösen und ableiten?
Ich wäre für einen kleinen Schubser auf den richtigen Weg sehr dankbar ^^;
greetz
AT-Colt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:27 So 17.10.2004 | | Autor: | andreas |
hi AT-colt
mit der von dir angegebnen substitution kommt man von dieser bernoulli-differentialgleichung auf eine lineare differentialgleichung.
dazu dividierst du die gesamte gleichung zuerst durch [m] y^3 [/m] - dafür musst du natürlich geeignete voraussetzungen an $y$ stellen um dies überhaupt machen zu düfen. damit erhälst du:
[m] \frac{y'}{y^3} - \frac{1}{2}x^2\frac{1}{y^2} + \frac{1}{2}x^2e^{-\frac{x^3}{3}} = 0 [/m]
betrachtest du nun die substitution [m] z(x) = \frac{1}{y(x)^{2}} [/m] und berechnest $z'(x)$ so erhälst du (kettenregel): [m] z'(x) = -2 y^{-3} y' = -\frac{2y'}{y^3} [/m], also [m] \frac{y'}{y^3} = - \frac{z'}{2} [/m]. setzt du dies nun oben ein, so ergibt sich die in $z$ lineare dgl:
[m] z' - \frac{1}{2}x^2z + \frac{1}{2}x^2e^{-\frac{x^3}{3}} = 0 [/m]
diese sollte sich nun mit variation der konstanten lösen lassen. das kannst du ja mal probieren.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:00 Mo 18.10.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Ok, danke Andreas,
das war genau der Schubs, den ich gebraucht habe ^^
Also fangen wir mal an, nach der Substitution ergibt sich ja:
$z' + x^2z - [mm] x^2e^{-\bruch{x^3}{3}} [/mm] = 0$ (da hatte sich bei Dir ein Rechenfehler eingeschlichen) bzw.
$z' = -x^2z + [mm] x^2e^{-\bruch{x^3}{3}} [/mm] = a(x)z + b(x)$ mit $a(x) = [mm] -x^2$ [/mm] und $b(x) = [mm] x^2e^{-\bruch{x^3}{3}}$.
[/mm]
Dieses Problem löst man, indem man zunächst eine allgemeine Lösung für $z' = a(x)z$ sucht und dann um eine spezielle Lösung erweitert:
[mm] $\varphi(x) [/mm] = [mm] e^{\int_{x_0}^{x}(-t^2)dt} [/mm] = [mm] e^{-\bruch{1}{3}x^3 + \bruch{1}{3}{x_0}^3}$
[/mm]
[mm] $\psi(x) [/mm] = [mm] e^{-\bruch{1}{3}x^3 + \bruch{1}{3}{x_0}^3}*(z_0 [/mm] + [mm] \int_{x_0}^{x}(\bruch{t^2e^{-\bruch{t^3}{3}}}{e^{-\bruch{1}{3}t^3 + \bruch{1}{3}{x_0}^3}})dt) [/mm] = [mm] e^{-\bruch{1}{3}x^3 + \bruch{1}{3}{x_0}^3}*(z_0 [/mm] + [mm] e^{-\bruch{{x_0}^3}{3}}\int_{x_0}^{x}(t^2)dt)$
[/mm]
mit [mm] $z_0 [/mm] = [mm] z(x_0) [/mm] = [mm] \bruch{1}{y(x_0)^2} [/mm] = [mm] {y_0}^{-2}$, [/mm] also
[mm] $\psi(x) [/mm] = [mm] e^{-\bruch{1}{3}x^3 + \bruch{1}{3}{x_0}^3}*(z_0 [/mm] + [mm] \bruch{1}{3}e^{-\bruch{{x_0}^3}{3}}x^3) [/mm] = [mm] e^{-\bruch{1}{3}x^3 + \bruch{1}{3}{x_0}^3}*({y_0}^{-2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3}e^{-\bruch{{x_0}^3}{3}}x^3)$
[/mm]
Da nun [mm] $\psi(x)$ [/mm] die Lösung der Differentialgleichung ist, folgt für $y$:
$y(x) = [mm] \bruch{1}{\sqrt{e^{-\bruch{1}{3}x^3 + \bruch{1}{3}{x_0}^3}*({y_0}^{-2} + \bruch{1}{3}e^{-\bruch{{x_0}^3}{3}}x^3)}}$
[/mm]
Natürlich nur auf Existenzintervallen, in denen $y(x)$ nicht 0 wird (sonst geht die Substitution schief) und dort, wo der Radikant positiv bleibt, was dann eigentlich überall wäre, wo die Summe in der Wurzel auch positiv ist.
Ich hoffe mal, ich habe mich nirgendwo verrechnet...
greetz
AT-Colt
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Hallo AT_COLT!
Ich habe die Aufgabe auch gerechnet!
> [mm]\varphi(x) = e^{\int_{x_0}^{x}(-t^2)dt} = e^{-\bruch{1}{3}x^3 + \bruch{1}{3}{x_0}^3}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\psi(x) = e^{-\bruch{1}{3}x^3 + \bruch{1}{3}{x_0}^3}*(z_0 + \int_{x_0}^{x}(\bruch{t^2e^{-\bruch{t^3}{3}}}{e^{-\bruch{1}{3}t^3 + \bruch{1}{3}{x_0}^3}})dt) = e^{-\bruch{1}{3}x^3 + \bruch{1}{3}{x_0}^3}*(z_0 + e^{-\bruch{{x_0}^3}{3}}\int_{x_0}^{x}(t^2)dt)[/mm]
>
> mit [mm]z_0 = z(x_0) = \bruch{1}{y(x_0)^2} = {y_0}^{-2}[/mm], also
>
Das sollte auch so stimmen!
> [mm]\psi(x) = e^{-\bruch{1}{3}x^3 + \bruch{1}{3}{x_0}^3}*(z_0 + \bruch{1}{3}e^{-\bruch{{x_0}^3}{3}}x^3) = e^{-\bruch{1}{3}x^3 + \bruch{1}{3}{x_0}^3}*({y_0}^{-2} + \bruch{1}{3}e^{-\bruch{{x_0}^3}{3}}x^3)[/mm]
Hier glaube ich einen Fehler entfeckt zu haben:
Beim Auflösen der Stammfunktion unterschlägst Du [mm] -1/3x_0.
[/mm]
Überprüfe das noch mal!
Prinzipiell stimme ich mit dem Ende überein, bis auf den Folgefehler.
Gruss,
Wurzelpi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:51 Mo 18.10.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Servus Wurzelpi,
> > [mm]\psi(x) = e^{-\bruch{1}{3}x^3 + \bruch{1}{3}{x_0}^3}*(z_0 + \bruch{1}{3}e^{-\bruch{{x_0}^3}{3}}x^3) = e^{-\bruch{1}{3}x^3 + \bruch{1}{3}{x_0}^3}*({y_0}^{-2} + \bruch{1}{3}e^{-\bruch{{x_0}^3}{3}}x^3)[/mm]
>
>
> Hier glaube ich einen Fehler entfeckt zu haben:
> Beim Auflösen der Stammfunktion unterschlägst Du
> [mm]-1/3x_0.
[/mm]
> Überprüfe das noch mal!
Oh ja, danke, das hatte ich beim Abtippen zum Schluss vergessen, irgendwann verliert man den Überblick ^^;
Die Sache mit dem "Kehrwert" liegt daran, dass wir jetzt erst $z(x)$ bestimmt haben, aber eigentlich nach $y(x)$ suchen und $z(x) = [mm] y(x)^{-2}$ [/mm] substituiert haben.
Also sollte gelten $z(x) = [mm] y(x)^{-2} \gdw [/mm] y(x) = [mm] \bruch{1}{\sqrt{z(x)}}$.
[/mm]
greetz
AT-Colt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:30 Mo 18.10.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo nochmal!
Jetzt habe ich selber noch eine Frage zum Ende.
Warum bildest du den Kehrwert?
Gruss, Wurzelpi
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