Bernoulli Gleichung -Umformung < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:06 Mi 15.04.2009 | | Autor: | ONeill |
Hallo!
Ich habe hier die Bernoulli Gleichung und ein Gas, was adiabatisch komprimiert wird. Daraus soll ich eine Gleichung basteln. Das Endergebnis habe ich, die Zwischenschritte fehlen. Mein Ergebnis sieht anders aus, könnte aber vielleicht richtig sein, wenn man es noch passend umformt, allerdings sehe ich da keinen Weg.
Hier erstmal der Ansatz:
Umgestellte Bernoulli Gleichung
[mm] g\Delta h+\bruch{p_1}{\rho_2}+\bruch{\Delta p}{\rho}+0,5*\Delta v^2=-U_R
[/mm]
[mm] U_R [/mm] ist dabei der Reibungsverlust
[mm] \bruch{\Delta p}{\rho} [/mm] dieser Therm soll nun ersetzt werden und das geht über das Poisson Gesetz (weil adiabatischer Vorgang). Daher gilt:
[mm] \integral_{p_1}^{p_2}{\bruch{dp}{\rho}}=\bruch{p_1^{-\bruch{1}{\kappa}}}{\rho _1}\integral_{p_1}^{p_2}{p^{-\bruch{1}{\kappa}}dp}
[/mm]
Das integrieren, dann kommt man auf:
[mm] \bruch{p_2-p_1}{\rho}=\bruch{p_1^{\bruch{1}{\kappa}}}{\rho _1}\bruch{\kappa}{\kappa -1}*(p_2^{\bruch{\kappa}{\kappa -1}}-p_1^{\bruch{\kappa}{\kappa -1}})
[/mm]
So das in die Bernoulli Gleichung von oben:
[mm] g\Delta h+\bruch{p_1}{\rho_2}+\bruch{p_1^{\bruch{1}{\kappa}}}{\rho _1}\bruch{\kappa}{\kappa -1}*(p_2^{\bruch{\kappa}{\kappa -1}}-p_1^{\bruch{\kappa}{\kappa -1}})+0,5*\Delta v^2=-U_R
[/mm]
Laut Lösung kommt allerdings folgendes raus:
[mm] g\Delta h+\bruch{p_1}{\rho_2}+\bruch{p_1}{\rho _1}\bruch{\kappa}{\kappa -1}((\bruch{p_2}{p_1})^{\bruch{\kappa-1}{\kappa}}-1)+0,5*\Delta v^2=-U_R
[/mm]
Ich würd nu spontan sagen meine Lösung ist falsch...
Falls darüber jemand die Übersicht behält würde ich mich sehr über eine Antwort freuen.
Beste Grüße
Christian
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Hallo Christian,
meine Thermodynamik ist lange her, aber für die Fehlersuche reicht hier glücklicherweise Mathematik:
> Hallo!
>
> Ich habe hier die Bernoulli Gleichung und ein Gas, was
> adiabatisch komprimiert wird. Daraus soll ich eine
> Gleichung basteln. Das Endergebnis habe ich, die
> Zwischenschritte fehlen. Mein Ergebnis sieht anders aus,
> könnte aber vielleicht richtig sein, wenn man es noch
> passend umformt, allerdings sehe ich da keinen Weg.
>
> Hier erstmal der Ansatz:
> Umgestellte Bernoulli Gleichung
> [mm]g\Delta h+\bruch{p_1}{\rho_2}+\bruch{\Delta p}{\rho}+0,5*\Delta v^2=-U_R[/mm]
> ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]U_R[/mm] ist dabei der Reibungsverlust
> [mm]\bruch{\Delta p}{\rho}[/mm] dieser Therm soll nun ersetzt
> werden und das geht über das Poisson Gesetz (weil
> adiabatischer Vorgang). Daher gilt:
>
> [mm]\integral_{p_1}^{p_2}{\bruch{dp}{\rho}}=\bruch{p_1^{\red{-}\bruch{1}{\kappa}}}{\rho _1}\integral_{p_1}^{p_2}{p^{-\bruch{1}{\kappa}}dp}[/mm]
> ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Wo kommt das rote Minus im Exponenten her?
> Das integrieren, dann kommt man auf:
> [mm]\bruch{p_2-p_1}{\rho}=\bruch{p_1^{\bruch{1}{\kappa}}}{\rho _1}\bruch{\kappa}{\kappa -1}*(p_2^{\bruch{\kappa}{\kappa -1}}-p_1^{\bruch{\kappa}{\kappa -1}})[/mm]
>
Richtig wäre:
[mm] \bruch{p_2-p_1}{\rho}=\bruch{p_1^{\bruch{1}{\kappa}}}{\rho _1}\bruch{\kappa}{\kappa -1}*(p_2^{\red{\bruch{\kappa-1}{\kappa}}}-p_1^{\red{\bruch{\kappa-1}{\kappa}}})
[/mm]
Nebenbei: hier kommt das falsche Minuszeichen im Exponenten von oben nicht mehr vor. Doch nur ein Tippfehler?
Jedenfalls stimmten die Exponenten in der Stammfunktion nicht.
...und so kommst Du auch auf die richtige Lösung. Du musst nur noch mit [mm] p_1^{\bruch{\kappa-1}{\kappa}} [/mm] erweitern.
> So das in die Bernoulli Gleichung von oben:
>
> [mm]g\Delta h+\bruch{p_1}{\rho_2}+\bruch{p_1^{\bruch{1}{\kappa}}}{\rho _1}\bruch{\kappa}{\kappa -1}*(p_2^{\bruch{\kappa}{\kappa -1}}-p_1^{\bruch{\kappa}{\kappa -1}})+0,5*\Delta v^2=-U_R[/mm]
>
> Laut Lösung kommt allerdings folgendes raus:
> [mm]g\Delta h+\bruch{p_1}{\rho_2}+\bruch{p_1}{\rho _1}\bruch{\kappa}{\kappa -1}((\bruch{p_2}{p_1})^{\bruch{\kappa-1}{\kappa}}-1)+0,5*\Delta v^2=-U_R[/mm]
>
> Ich würd nu spontan sagen meine Lösung ist falsch...
> Falls darüber jemand die Übersicht behält würde ich mich
> sehr über eine Antwort freuen.
>
> Beste Grüße
> Christian
Herzliche Grüße
reverend
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