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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:34 Mi 14.05.2014 | | Autor: | nbt |
| Aufgabe | Lösen Sie das Anfangswertproblem:
[mm] $y'=4xy+4e^{3x^2+x}y^{-1/2}$
[/mm]
$y(0)=4$ |
Hi,
also die DGL ist eine Bernoulli Differntialgleichung mit [mm] $\alpha=-\frac{1}{2}$ [/mm] und
[mm] $a:I=\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ [/mm] a(x):=4x$ stetig
und
[mm] $b:I=\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ b(x):=4e^{3x^2+x}$ [/mm] stetig.
Mit der Substitution [mm] $y^{1-\alpha}$ [/mm] kommt man zum korrespondierenden AWP
[mm] $y'=(1-\alpha)(a(x)y+b(x))=6xy+6e^{3x^2+x},\ y(0)=y_0^{1-\alpha}=8$
[/mm]
Lineare AWPs kann man mit Variation der Konstanten lösen:
[mm] $\psi(x)=\psi_0(x)(y_0+\int_{x_0}^x\frac{1}{\psi_0(t)}b(t)dt)$
[/mm]
mit [mm] $\psi_0(x)=\exp(\int_{x_0}^xa(t)dt)$
[/mm]
Ich kommen auf [mm] $\psi_0(x)=e^{2x^2}$ [/mm] und
[mm] $\psi(x)=e^{2x^2}(8+\int_0^x4e^{t^2+t}dt)$.
[/mm]
Das Integral kann ich leider nicht ausrechnen. Muss man noch am Anfang irgendwas substituieren oder wie löst ihr die Aufgabe?
Vielen Dank für die HIlfe,
nbt
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Hallo nbt,
> Lösen Sie das Anfangswertproblem:
> [mm]y'=4xy+4e^{3x^2+x}y^{-1/2}[/mm]
> [mm]y(0)=4[/mm]
> Hi,
> also die DGL ist eine Bernoulli Differntialgleichung mit
> [mm]\alpha=-\frac{1}{2}[/mm] und
Dieses [mm]\alpha[/mm] stimmt nicht.
> [mm]a:I=\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ a(x):=4x[/mm] stetig
> und
> [mm]b:I=\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ b(x):=4e^{3x^2+x}[/mm] stetig.
> Mit der Substitution [mm]y^{1-\alpha}[/mm] kommt man zum
> korrespondierenden AWP
> [mm]y'=(1-\alpha)(a(x)y+b(x))=6xy+6e^{3x^2+x},\ y(0)=y_0^{1-\alpha}=8[/mm]
>
> Lineare AWPs kann man mit Variation der Konstanten lösen:
>
> [mm]\psi(x)=\psi_0(x)(y_0+\int_{x_0}^x\frac{1}{\psi_0(t)}b(t)dt)[/mm]
> mit [mm]\psi_0(x)=\exp(\int_{x_0}^xa(t)dt)[/mm]
> Ich kommen auf [mm]\psi_0(x)=e^{2x^2}[/mm] und
> [mm]\psi(x)=e^{2x^2}(8+\int_0^x4e^{t^2+t}dt)[/mm].
> Das Integral kann ich leider nicht ausrechnen. Muss man
> noch am Anfang irgendwas substituieren oder wie löst ihr
> die Aufgabe?
>
> Vielen Dank für die HIlfe,
> nbt
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 Do 15.05.2014 | | Autor: | nbt |
Hi MathePower,
hm ich sehs grade nicht. Bernoulli DGLs sind doch der Form: [mm] $y'=a(x)y+b(x)y^{\alpha}$, [/mm] mit [mm] $\alpha\in\mathbb{R}\backslash\{0,1\}$.
[/mm]
Warum ist dann in der Aufgabe das [mm] $\alpha$ [/mm] nicht gleich dem [mm] $-\frac{1}{2}$?
[/mm]
VG,
nbt
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:03 Do 15.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hi MathePower,
>
> hm ich sehs grade nicht. Bernoulli DGLs sind doch der Form:
> [mm]y'=a(x)y+b(x)y^{\alpha}[/mm], mit
> [mm]\alpha\in\mathbb{R}\backslash\{0,1\}[/mm].
> Warum ist dann in der Aufgabe das [mm]\alpha[/mm] nicht gleich dem
> [mm]-\frac{1}{2}[/mm]?
Mathepower hat sich geirrt. Ich hab Dir hier
https://matheraum.de/read?i=1021317
eine Antwort auf Deine ursprüngliche Frage geschrieben.
FRED
>
> VG,
> nbt
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:02 Do 15.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Lösen Sie das Anfangswertproblem:
> [mm]y'=4xy+4e^{3x^2+x}y^{-1/2}[/mm]
> [mm]y(0)=4[/mm]
> Hi,
> also die DGL ist eine Bernoulli Differntialgleichung mit
> [mm]\alpha=-\frac{1}{2}[/mm] und
> [mm]a:I=\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ a(x):=4x[/mm] stetig
> und
> [mm]b:I=\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ b(x):=4e^{3x^2+x}[/mm] stetig.
> Mit der Substitution [mm]y^{1-\alpha}[/mm] kommt man zum
> korrespondierenden AWP
> [mm]y'=(1-\alpha)(a(x)y+b(x))=6xy+6e^{3x^2+x},\ y(0)=y_0^{1-\alpha}=8[/mm]
>
> Lineare AWPs kann man mit Variation der Konstanten lösen:
>
> [mm]\psi(x)=\psi_0(x)(y_0+\int_{x_0}^x\frac{1}{\psi_0(t)}b(t)dt)[/mm]
> mit [mm]\psi_0(x)=\exp(\int_{x_0}^xa(t)dt)[/mm]
> Ich kommen auf [mm]\psi_0(x)=e^{2x^2}[/mm] und
> [mm]\psi(x)=e^{2x^2}(8+\int_0^x4e^{t^2+t}dt)[/mm].
> Das Integral kann ich leider nicht ausrechnen.
Du bist Deinen eigenen Bezeichnungsweisen zu Opfer gefallen ! Du hast das alte a und b verwendet.
In der linearen Dgl. ist aber a(x)=6x und [mm] b(x)=6e^{3x^2+x}
[/mm]
FRED
> Muss man
> noch am Anfang irgendwas substituieren oder wie löst ihr
> die Aufgabe?
>
> Vielen Dank für die HIlfe,
> nbt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:04 Do 15.05.2014 | | Autor: | nbt |
Danke FRED, habs jetzt lösen können. Vielleicht sollte ich mir eine sicherere Notation zulegen.
VG
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