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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:31 Sa 13.12.2008 | | Autor: | Kreide |
| Aufgabe | [mm] X_{1}, [/mm] ... , [mm] X_{n} [/mm] sind stoch. unabh. Bernoulli-ZVA mit [mm] P(X_{i}=1)=p [/mm] und [mm] P(X_{i}=0)=1-p [/mm] 0<p<1 und sei [mm] Y_{n} [/mm] = [mm] X_{1},...., X_{n}
[/mm]
Bestimme den Grenzwert für alle x [mm] \in \IR
[/mm]
[mm] lim_{n \to \infty} [/mm] ( [mm] P(\bruch{(Y_{n}-np)^2}{np(1-p)} \le [/mm] x) |
Hallo, ich habe Probleme mit dieser Aufgabe.
Ich poste mal hier, wie ich vorgegangen bin. Hoffentlich kann mir jm helfen!
ich betrachte erstmal nur den Bruch
[mm] \bruch{(Y_{n}-np)^2}{np(1-p)}
[/mm]
[mm] Y_{n} [/mm] = [mm] X_{1},...., X_{n} [/mm] diese Summe kann ja nur kleiner oder gleich n sein, da die [mm] X_{i} [/mm] nur die Werte 1 oder 0 annehmen können, also
[mm] \bruch{(Y_{n}-np)^2}{np(1-p)} \le \bruch{(n-np)^2}{np(1-p)}
[/mm]
nun die binomische klammer oben auflösen und mit n kürzen ergibt:
[mm] \bruch{n(1-2p+p^2)}{p(1-p)}=\bruch{n(1-p)}{p}
[/mm]
Also hätte ich dann
[mm] lim_{n \to \infty} P(\bruch{n(1-p)}{p}\le [/mm] x)
[mm] \gdw
[/mm]
P( [mm] \infty \le [/mm] x)
ist es bis hier hin richtig?
Nur wie rechne ich
P( [mm] \infty \le [/mm] x) aus?
Ich weiß ja auch, dass folgendes für eine binominalverteilung gilt:
[mm] P(X=k)=\vektor{n \\ k}p^k*(1-p)^{n-k}
[/mm]
aber hier kann ich ja nicht unendlich für die Zufallvariablen X einsetzen.
Irgendwie irritiert mich das
Wäre schön, wenn mir jm helfen könnte.
Lg
kreide
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:25 Sa 13.12.2008 | | Autor: | Kreide |
sorry, es hatten sie einige tippfehler eingeschlichen, jetzt müsste alles richtig sein
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:37 Sa 13.12.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin Kreide,
du musst dir zunaechst einmal ueberlegen, wie x sinnvoll gewaehlt werden muss. Dann vermute ich, dass es sich um [mm] $Y_n=X_1+\dots+X_n$ [/mm] handelt.
Wie ist $ [mm] \bruch{Y_{n}-np}{\sqrt{np(1-p)}}$ [/mm] asymptotisch verteilt?
Hinweis: Zentraler Grenzwertsatz!
vg Luis
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