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| Aufgabe | In der Kombinatorik gibt es ja die Formel:
n * (n - 1) * / (n - 2) *... / k!
Da man im Zähler n immer um 1 "vermindern" muss, nämlich genau um k+1 mal, wollte ich fragen, ob man die Formel auch so schreiben kann:
n * (n - 1) * / (n - 2) * (n - (k-1)) *... / k!
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Denn ist z.B. k=5, dann hat die "Reihe" im Zähler ja genau k-viele (also 5) Faktoren...im Fall von k=5 wäre der letzte Faktor ja (n - 4). Daher kam ich auf die Formel:
n * (n - 1) * / (n - 2) * (n - (k-1)) *... / k!
Ist die aber auch richtig?
D.Q.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Doc,
ich bin nicht ganz sicher, was du meinst, wenn du "*/" schreibst ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Ich vermute du meinst die Formel $\vektor{n\\k}=\frac{n\cdot{}(n-1)\cdot{}(n-2)\cdots(n-k+1)}{k!}$
Da kannst du natürlich im letzten Faktor des Zählern ne Minusklammer machen.
Alternativ kannst du das mit dem Produktzeichen verkürzt schreiben:
$\vektor{n\\k}=\produkt_{i=1}^{k}\frac{n+1-i}{i}$
Was du auch machen kannst, ist zB, den Bruch zu erweitern mit $\frac{(n-k)!}{(n-k)!}$
Dann bekommst du
$\vektor{n\\k}=\frac{n\cdot{}(n-1)\cdot{}(n-2)\cdots(n-k+1)}{k!}=\frac{\left[n\cdot{}(n-1)\cdot{}(n-2)\cdots(n-k+1)\right]\red{(n-k)!}}{k!\red{(n-k)!}}$
$=\frac{\left[n\cdot{}(n-1)\cdot{}(n-2)\cdots(n-k+1)\right](n-k)(n-k-1)(n-k-2)\cdots3\cdot{}2\cdot{}1}{k!\cdot{}(n-k)!}=\frac{n!}{k!(n-k)!$
Das ist eine andere Darstellung des BK - kennste auch vllt aus der Schule
Bin nicht ganz sicher, ob du sowas in der Art meintest, versuch doch, den Formeleditor zu benutzen, dann hat man's leichter mit dem Lesen 
LG
schachuzipus
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| Aufgabe | Oh, ich habe da einen Fehler entdeckt...das mit dem "plus" war nicht so gemeint! Also vor vorne!^^
Ich habe in meinem Mathe-Buch die Kombinatorik-Formel:
[mm] \bruch{ n \* (n - 1) \* (n - 2) \* ... }{k!}
[/mm]
Jetzt die Frage: Es ist ja klar, dass der Zähler nun k-viele Faktoren haben muss.
Ein Bsp.: bei k=2 sieht das Ganze so aus:
[mm] \bruch{ n \* (n - 1) }{ 2 \* 1 }
[/mm]
Mir kommt es jetzt auf Folgendes an:
Man kann den BK auch anders aufschreiben, weil man schnell merkt, dass der "letzte" Faktor im Zähler (hier: (n-1)) immer eine Zahl, die um "1" kleiner ist als k (hier: 2) enthält (hier: 1, denn (n - 1 )).
D.h. bei k=5 weiß ich, dass der "letzte" Faktor im Zähler des BK (n - 4) sein wird. Bei k = 3 demnach, ist der "letzte" Faktor im Zähler des BK (n - 2).
Also ist die Zahl in dem "letzten" Faktor in dem Zähler des BK immer um "1" kleiner als k [mm] \Rightarrow [/mm] (k - 1)
Jetzt aber wirklich zu meiner Frage:
Kann ich dann statt der ursprünglichen Formel
[mm] \bruch{ n \* (n - 1) \* (n - 2) \* ... }{k!}
[/mm]
auch
[mm] \bruch{ n \* (n - 1) \* (n - 2) \* ... \*(n - (k-1)) }{k!}
[/mm]
schreiben?
(Mir kam's jetzt nicht darauf an, dass da dann am Ende wegen den beiden "Minus"-Zeichen (n - k + 1) steht :D.)
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D.Q.
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Hi nochmal,
da ham er's ja doch 
Also das, was du mit ursprünglicher Formel meinst, hat - wie du richtig sagst k Faktoren, du darfst das nicht mit .... schreiben.
Sonst weiß man doch nicht, wie weit das läuft. Du musst den letzten Faktor dazuschreiben.
Die "Ursprungsformel" ist doch genau [mm] $\frac{\overbrace{n\cdot{}(n-1)\cdot{}\cdots\cdot{}(n-k+1)}^{k-Faktoren}}{k!}$
[/mm]
Und das ist doch genau der Ausdruck deiner "neuen" Formel, nur den letzten Faktor mit Minusklammer geschrieben.
Gruß
schachuzipus
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Das ist ja ein Ding, in meinem Buch habe ich nämlich diese "unvollständige" "Ursrungs" - Formel. Da dachte ich mir, ob man das nicht etwas genauer fassen kann...wusste garnicht, dass die Formel so auch richtig ist...schön schön!
D.Q.
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jo, schau mal bei wiki vorbei:
http://de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient
Da stehts nochmal im Detail
Gruß
schachuzipus
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