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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:57 Sa 10.11.2007 | | Autor: | Nicksve |
| Aufgabe | | Für welche y [mm] \in \IR [/mm] hat die Gleichung [mm] y=ln(x^2+3x+3) [/mm] eine Lösung im Intervall ]-unendlich, -1]? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo erstmal.
Also wir haben diese Frage in einer Übung in der Uni bekommen. Ich habe auch den kompletten Lösungsweg(s. unten), nur kann ich diesen leider nicht nachvollziehen. Ich weiß z.B. gar nicht, was überhaupt in der Aufgabe gefordert ist...Und die Lösungsschritte bringen mich auch nicht weiter. Ich bräuchte also sozusagen eine Erklärung, was genau warum gemacht wurde. Ich wäre über Hilfe sehr dankbar.
LG Nick
Lösungsweg:
Es gilt: [mm] x^2+3x+3
[/mm]
[mm] =(x^2+2*(3/2)x+(9/4))-(9/4)+3 [/mm] (quadratische Ergänzung)
[mm] =(x+(3/2))^2+3/4 \ge [/mm] 3/4 > 0 für alle x [mm] \in \IR
[/mm]
der rechte Term ist für alle x [mm] \in \IR [/mm] definiert
[mm] ln(x^2+3x+3)=ln((x+(3/2))^2+(3/4)) \ge [/mm] ln(3/4)
Die Gleichung ist also höchstens dann lösbar, wenn y [mm] \ge [/mm] ln(3/4) ist.
In diesem Fall gilt: y= [mm] ln((x+(3/2))^2+(3/4))
[/mm]
[mm] =e^y=(x+(3/2))^2+(3/4)
[/mm]
[mm] \gdw e^y-(3/4)=(x+(3/2))^2
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] x+(3/2) =+- [mm] \wurzel{e^y-(3/4)}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] x=-(3/2) +- [mm] \wurzel{e^y-(3/4)}
[/mm]
[mm] \underbrace{-(3/2)}_{<-1}
[/mm]
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> Für welche y [mm]\in \IR[/mm] hat die Gleichung [mm]y=ln(x^2+3x+3)[/mm]
> eine Lösung im Intervall ]-unendlich, -1]?
Hallo,
es ist gefragt, welche y Du einsetzten kannst, so daß Du ein passendes x aus dem Intervall ]-unendlich, -1] findest, welches die Gleichung löst.
Da die Logarithmusfunktion überhaupt nur auf positiven Werten definiert ist, findet man zunächst heraus, für welche x [mm] g(x):=x^2+3x+3 [/mm] positiv ist.
Diese Frage wird in diesem Abschnitt behandelt:
> Lösungsweg:
>
> Es gilt: [mm]x^2+3x+3[/mm]
> [mm]=(x^2+2*(3/2)x+(9/4))-(9/4)+3[/mm] (quadratische
> Ergänzung)
> [mm]=(x+(3/2))^2+3/4 \ge[/mm] 3/4 > 0 für alle x [mm]\in \IR[/mm]
>
> der rechte Term ist für alle x [mm]\in \IR[/mm] definiert
Ergebnis: für alle x [mm] \in \IR [/mm] ist [mm] x^2+3x+3 [/mm] positiv, das liest man aus der Scheitelpunktform, in welche die Parabel [mm] x^2+3x+3 [/mm] umgewandelt wurde, ab.
Nun bleibt die Frage, welche y [mm] \in \IR [/mm] man mit [mm] y=ln(x^2+3x+3) [/mm] überhaupt erreichen kann.
Es ist ja [mm] x^2+3x+3=(x+(3/2))^2+3/4 \ge [/mm] 3/4, und da ln monton wachsend ist, erhält man
> [mm]ln(x^2+3x+3)=ln((x+(3/2))^2+(3/4)) \ge[/mm]
> ln(3/4)
> Die Gleichung ist also höchstens dann lösbar, wenn y [mm]\ge[/mm]
> ln(3/4) ist.
Man weiß nun, daß man für y< ln(3/4) überhaupt nicht nach einer Lösung zu suchen braucht, weil es keine gibt.
Die Frage, ob man nun wirklich zu jedem y mit y [mm]\ge[/mm] ln(3/4) ein passendes x findet, steht noch im Raum.
Dieses passende x (meist sind es ja zwei) wird im letzten Abschnitt ermittelt.
Gruß v. Angela
> gilt: y= [mm]ln((x+(3/2))^2+(3/4))[/mm]
> [mm]=e^y=(x+(3/2))^2+(3/4)[/mm]
> [mm]\gdw e^y-(3/4)=(x+(3/2))^2[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] x+(3/2) =+- [mm]\wurzel{e^y-(3/4)}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] x=-(3/2) +- [mm]\wurzel{e^y-(3/4)}[/mm]
> [mm]\underbrace{-(3/2)}_{<-1}[/mm]
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