Berechnung von Nullstellen < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:18 Fr 14.08.2009 | | Autor: | dudu93 |
| Aufgabe | 1.) f(x)= [mm] (\bruch{1}{2}x [/mm] + 1) [mm] (2-\bruch{2}{3}x)
[/mm]
2.) f(x)= [mm] x^3 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] - 4x - 4
3.) f(x)= [mm] 16x^4 [/mm] - [mm] 40x^2 [/mm] + 9 |
Hallo. Ich habe Probleme beim Berechnen der Nullstellen der oben aufgelisteten 3 Aufgaben.
Hier erstmal meine Gedanken:
1.)Ich würde vielleicht erstmal jeden Wert in der 1.Klammer mit den Werten in der 2.multiplizieren und dann die Gleichung irgendwie setzen.
2.)Ich bin mir hier nicht sicher, ob man da das x ausklammern kann.
3.)Irgendwie habe ich bei dieser Aufgabe an eine bin.Formel gedacht, aber ich bin mir dabei unsicher.
Könnt Ihr mir helfen?
lg
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Hallo dudu93,
> 1.) f(x)= [mm](\bruch{1}{2}x[/mm] + 1) [mm](2-\bruch{2}{3}x)[/mm]
> 2.) f(x)= [mm]x^3[/mm] + [mm]x^2[/mm] - 4x - 4
> 3.) f(x)= [mm]16x^4[/mm] - [mm]40x^2[/mm] + 9
> Hallo. Ich habe Probleme beim Berechnen der Nullstellen
> der oben aufgelisteten 3 Aufgaben.
>
> Hier erstmal meine Gedanken:
> 1.)Ich würde vielleicht erstmal jeden Wert in der
> 1.Klammer mit den Werten in der 2.multiplizieren und dann
> die Gleichung irgendwie setzen.
Für die Berechnung brauchst Du das nicht.
Die Nullstellen ergeben sich hier unmittelbar aus den Klammerausdrücken.
>
> 2.)Ich bin mir hier nicht sicher, ob man da das x
> ausklammern kann.
Hier kannst Du kein x ausklammern,
wohl aber einen Faktor [mm]x+b, \ b\in \IR,\ b \not= 0[/mm]
>
> 3.)Irgendwie habe ich bei dieser Aufgabe an eine bin.Formel
> gedacht, aber ich bin mir dabei unsicher.
Das Stichwort lautet hier quadratische Gleichung.
Setzt Du hier [mm]z=x^{2}[/mm], dann erhältst Du
[mm]16z^2 - 40z + 9=0[/mm]
Dies ist eine quadratische Gleichung in z,
wovon Du die Lösung ermitteln kannst.
>
> Könnt Ihr mir helfen?
>
> lg
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Fr 14.08.2009 | | Autor: | dudu93 |
Danke für die Antwort.
Die Aufgabe 3 habe ich nun gelöst.
Für x1 habe ich -0,25 raus; für x2 habe ich -2,25 raus. Ist das richtig?
Die Aufgaben 1 u. 2 verstehe ich aber immer noch nicht..=/
lg
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Hallo dudu93,
> Danke für die Antwort.
>
> Die Aufgabe 3 habe ich nun gelöst.
> Für x1 habe ich -0,25 raus; für x2 habe ich -2,25 raus.
> Ist das richtig?
Die Lösung x1 stimmt. Es gibt aber 4 Nullstellen, da [mm]x^{\blue {4}}[/mm].
>
> Die Aufgaben 1 u. 2 verstehe ich aber immer noch nicht..=/
Zur Aufgabe 1: Überlege Dir, wann ein Produkt Null ist.
Zur Aufgabe 2:
[mm]f\left(x\right)=\blue{1}*x^{3}+\blue{1}*x^{2}\green{-4}x\green{-4}[/mm]
Die blau und grün markierten Koeffizienten sind gleich,
daher kannst Du diese ausklammern:
[mm]f\left(x\right)=\blue{1}*\left(x^{3}+x^{2}\right)\green{-4}*\left(x+1\right)[/mm]
Hier kannst Du noch den Ausdruck
[mm]x^{3}+x^{2}[/mm]
als Produkt von 2 Faktoren schreiben.
>
> lg
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 Fr 14.08.2009 | | Autor: | dudu93 |
Hm, und wie bekomme ich bei der 3.AUfgabe die anderen 2 Nullstellen raus? Ich habe ja die normale Lösungsformel für eine quadr. Gleichung benutzt. Damit kann man aber doch nur 2 Werte rausbekommen, oder?
Ein Produkt ist doch null, wenn einer der Werte Null ist bzw. ergibt.Also muss eine Klammer 0 werden denke ich mal.
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Hallo dudu93,
> Hm, und wie bekomme ich bei der 3.AUfgabe die anderen 2
> Nullstellen raus? Ich habe ja die normale Lösungsformel
> für eine quadr. Gleichung benutzt. Damit kann man aber
> doch nur 2 Werte rausbekommen, oder?
Ganz langsam, nichts durcheinanderschmeißen:
Du hast mit der Substitution [mm] $z=x^2$ [/mm] eine quadratische Gleichung, die 2 Lösungen hat (in z!!), also [mm] $z_1=...$ [/mm] und [mm] $z_2=...$
[/mm]
Welche Lösungen hast du da raus?
Nun suchst du ja Lösungen in der Variable x, substituiere also zurück:
[mm] $z_1=x^2$ [/mm] und [mm] $z_2=x^2$
[/mm]
Damit bekommst du für [mm] $z_1$ [/mm] 2 Lösungen in x, ebenso für [mm] $z_2$
[/mm]
Insgesamt also 4 Lösungen in x.
Schreibe das mal sauber und strukturiert auf, vllt. postest du das auch mal mit Rechneschritten, dann können wir besser korrigieren ..
> Ein Produkt ist doch null, wenn einer der Werte Faktoren Null ist
> bzw. ergibt.Also muss eine Klammer 0 werden denke ich mal.
Ja, oder die andere 
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:33 Fr 14.08.2009 | | Autor: | dudu93 |
Okay, also hier meine Lösung füpr AUfgabe 3:
f(x)= [mm] 16x^4-40x^2+9 [/mm] | [mm] x^2=z
[/mm]
f(x)= [mm] 16z^2-40z+9
[/mm]
0= [mm] 16z^2-40z+9 [/mm] | :16
0= [mm] z^2-2,15z+\bruch{9}{16}
[/mm]
[mm] x_1/2= [/mm] -1,25 +- [mm] \wurzel{1,5625-\bruch{9}{16}}
[/mm]
[mm] x_1=-0,25 x_2=-2,25
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:35 Fr 14.08.2009 | | Autor: | dudu93 |
EIn kleiner Fehler ist mir beim TIppen passiert.
[mm] 0=z^2,5z+\bruch{9}{16} [/mm]
So ist's richtig.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:39 Fr 14.08.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo dudu!
> f(x)= [mm]16x^4-40x^2+9[/mm] | [mm]x^2=z[/mm]
> f(x)= [mm]16z^2-40z+9[/mm]
> 0= [mm]16z^2-40z+9[/mm] | :16
> 0= [mm]z^2-2,15z+\bruch{9}{16}[/mm]
Hier muss es heißen:
$$0 \ = \ [mm] z^2-2{,}5*z+\bruch{9}{16}$$
[/mm]
> [mm]x_1/2=[/mm] -1,25 +- [mm]\wurzel{1,5625-\bruch{9}{16}}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Vorzeichenfehler!
[mm] $$z_{1/2} [/mm] \ = \ [mm] \red{+}1{,}25\pm\wurzel{1{,}5625-\bruch{9}{16}}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 Fr 14.08.2009 | | Autor: | dudu93 |
Danke für den Hinweis.
aber wieso muss es -9/16 heißen?Die Lösungsformel besagt doch, dass es -q ist.
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Hallo dudu!
> Danke für den Hinweis.
> aber wieso muss es -9/16 heißen?Die Lösungsformel besagt
> doch, dass es -q ist.
Deine Ausgangsformel ist doch folgende:
$ [mm] z^2-2,15z+\bruch{9}{16} [/mm] $
Allgemein geht die Formel für die pq-Formel ja so: [mm] x^2+px+q=0
[/mm]
In deinem Fall ist Formel also eigentlich: $ [mm] z^2+(-2,15)z+\bruch{9}{16} [/mm] $
Nun ist dein $p=-2,15$ und dein [mm] $q=\bruch{9}{16}$
[/mm]
Da es in der qp-Formel, wie du selbst erkannt hast, heißt $-q$, erhälst du [mm] -\bruch{9}{16}.
[/mm]
LG, Nadine
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