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| Aufgabe | | "Auf dem Weihnachtsmarkt reihen sich n Glühweinstände. Eine Person startet beim ersten Stand und bleibt in jeder Zeiteinheit beim aktuellen Stand oder geht an einen der Nachbarstände. Mit welcher Wahrscheinlichkeit befindet sie sich nach langer Zeit am i-ten Stand?" |
Laut Satz von Markov gibt es eine Zähldichte p für die gilt:: [mm] P(X_n=i) [/mm] --> [mm] p_i
[/mm]
Und laut einen anderen Satz gilt für so eine Zähldichte: p*K=p (K sei die Übergangsmatrix)
Nun sind das bei n Glühweinständen ja aber n Gleichungen. Wenn ich n wüsste könnte ich das Gleichungssystem lösen, so aber nicht. Die Übergangsmatrix ist ja eine Bandmatrix, kann ich das vielleicht irgendwie ausnutzen?
Dies ist mein erster Beitrag hier, ich komme leider mit dem Editor noch nicht ganz zurecht. Ich hoffe ihr versteht was ich meine und könnt mir helfen.
Gruß, Die Fee
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.rattenforum.de/phpbb/viewtopic.php?topic=144153&forum=11
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Hier ist ja von "langer Zeit" die Rede. Wie berechnet man das? Indem man die Übergangsmatrix immer wieder mit sich selbst multipliziert, sie also potenziert.
Da hier kein bestimmter Zeitpunkt angegeben ist, sollte man sich anschauen, ob die Folge der Potenzen gegen eine bestimmte Matrix konvergiert - das wäre dann die Übergangsmatrix der sogenannten stationären Verteilung. Die existiert, wenn die MK irreduzibel und aperiodisch ist (schlag's nach).
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