Berechnung eines Integrals < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:24 Mi 16.03.2016 | | Autor: | fred97 |
| Aufgabe | Mir ist mal wieder eine schöne Aufgabe über den Weg gelaufen:
Sei [mm] $B:=\{(x,y) \in \IR^2: (x+1)^2+y^2 \le 9, (x-1)^2+y^2 \ge 1\}$ [/mm] und [mm] $f(x,y):=x^3-3xy^2$.
[/mm]
Man berechne [mm] \integral_{B}^{}{f(x,y) d(x,y)}. [/mm] |
Die Berechnung "zu Fuß" ist mühsam ! Es geht weniger leidvoll !
EDIT: weniger leidvoll bedeutet: mit harmonischen Mitteln.
Hat jetzt jemand eine Idee ?
Meine übliche Bitte an jemanden der Moderatoren: Kennzeichnung der Aufgabe in der gewohnten Weise.
Gruß FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 Di 22.03.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:31 Sa 09.04.2016 | | Autor: | Richie1401 |
Lange nicht mehr hier gewesen, aber dennoch diese unbeantwortete Aufgabe gefunden.
Zum einen sollte man feststellen, dass für [mm] D_1:=\{ (x,y) \in \IR^2: (x-1)^2+y^2 \ge 1 \} [/mm] und [mm] D_2:=\{(x,y) \in \IR^2: (x+1)^2+y^2 \le 9 \} [/mm] gilt [mm] D_1\subseteq D_2.
[/mm]
Also genügt es die Differenz zu betrachten. Da [mm] \Delta{}f(x,y)=0 [/mm] ist die Funktion harmonisch und die Mittelwerteigenschaft kann genutzt werden, also
[mm] \int_D f(x,y)d(x,y)=\int_{D_2}f(x,y)d(x,y)-\int_{D_1}f(x,y)d(x,y)=f(-1,0)|D_2|-f(1,0)|D_1|=-3^2\pi-\pi=-10\pi
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:36 Sa 09.04.2016 | | Autor: | fred97 |
Hallo Richie,
schön, dass Du das richtige harmonische Mittel gefunden hast !
Gruß FRED
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