Berechnung einer Summe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:21 Do 27.07.2006 | | Autor: | ko-al |
| Aufgabe | Berechnen Sie:
[mm] \summe_{k=2}^{\infty} [/mm] = [mm] \bruch{5^{k+2}}{9^{k-1}} [/mm] |
Habe die Summe auf folgende Form umgewandelt:
[mm] \summe_{k=2}^{\infty} [/mm] = 225 * [mm] (\bruch{5}{9})^k
[/mm]
Meine Frage:
Wie kann ich die summe umformen, sodass sie von k=0 bis unendlich läuft.
Danke.
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Hallo ko-al!
Addiere doch die fehlenden Glieder und subtrahiere sie anschließend gleich wieder ("eine geschickte Null addieren"):
[mm] $\summe_{k=2}^{\infty}225 *\left(\bruch{5}{9}\right)^k [/mm] \ = \ [mm] 225*\summe_{k=2}^{\infty}\left(\bruch{5}{9}\right)^k [/mm] \ = \ [mm] 225*\left[ \ \blue{\left(\bruch{5}{9}\right)^0+\left(\bruch{5}{9}\right)^1+\summe_{k=2}^{\infty}\left(\bruch{5}{9}\right)^k}-\left(\bruch{5}{9}\right)^0-\left(\bruch{5}{9}\right)^1 \ \right]$
[/mm]
$= \ [mm] 225*\left[ \ \blue{\summe_{k=0}^{\infty}\left(\bruch{5}{9}\right)^k}-1-\bruch{5}{9} \ \right] [/mm] \ = \ ...$
Gruß vom
Roadrunner
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