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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:37 Di 19.07.2011 | | Autor: | bandchef |
Hey Leute!
Ihr kennt ja bestimmt diese Reihe:
[mm] $\sum_{k=0}^{\infty} q^k [/mm] = [mm] \frac{1}{1-q}$
[/mm]
Ist das die unendliche geometrische Reihe? Gibt es solche Formeln wie auf der rechten Seite stehen noch für mehr Reihen? Was sind da die Wichtigsten?
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> Hey Leute!
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> Ihr kennt ja bestimmt diese Reihe:
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> [mm]\sum_{k=0}^{\infty} q^k = \frac{1}{1-q}[/mm]
Du musst hier aber noch ein paar Einschränkungen machen.
Für q=1 zum Beispiel wäre die rechte Seite garnicht definiert, für q > 1 würde deine Reihe divergieren.
> Ist das die unendliche geometrische Reihe? Gibt es solche
> Formeln wie auf der rechten Seite stehen noch für mehr
> Reihen? Was sind da die Wichtigsten?
Es gibt einen Haufen solche Formeln, hier mal ein paar die du sicher irgendwann brauchen wirst:
[mm] $e^x [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$ [/mm]
ins besondere:
$e = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}$
[/mm]
$sin(x) = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^kx^{2k + 1}}{(2k + 1)!}$
[/mm]
$cos(x) = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!}$
[/mm]
Die gelten jeweils [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in \IR$.
[/mm]
An sonsten kannst du mal bei Wiki nachgucken, es gibt solche sogenannten Reihendarstellungen für die meisten Funktionen (sin,cos,tan,arctan,sinh,ln,...).
MfG
Schadowmaster
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