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| Aufgabe | Beweise den folgenden Satz:
Für jede Stammfunktion F von f in [a;b] gilt [mm] $\integral_{a}^{b}{f(x) dx}=F(b)-F(a)$. [/mm] |
Wir haben beriets folgendes (HDI) bewiesen:
Für jede in [a;b] stückweise monotone und stetige Funktion f gilt:
(1) [mm] F_c [/mm] ist Stammfunktion von f in [a;b].
(2) [mm] $\integral_{a}^{b}{f(x) dx}=F_c(b)-F_c(a)$
[/mm]
Hierbei ist [mm] F_c(x) [/mm] Integralfunktion von f zur unteren Grenze c.
Der zweite Teil dieses Satzes ist dem zu beweisenden Satz ja bereits sehr ähnlich. Dennoch gelingt es mir nicht obigen Satz für alle Stammfunktionen zu beweisen.
Danke für eure Hilfe.
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Hi, Werder_RoKs,
> Beweise den folgenden Satz:
> Für jede Stammfunktion F von f in [a;b] gilt
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}=F(b)-F(a)[/mm].
> Wir haben beriets
> folgendes (HDI) bewiesen:
> Für jede in [a;b] stückweise monotone und stetige Funktion
> f gilt:
> (1) [mm]F_c[/mm] ist Stammfunktion von f in [a;b].
> (2) [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}=F_c(b)-F_c(a)[/mm]
> Hierbei ist
> [mm]F_c(x)[/mm] Integralfunktion von f zur unteren Grenze c.
>
Die Formulierung des Satzes weist bereits darauf hin, dass die Funktion f integrierbar ist, dass es also die Stammfunktionen [mm] F_{c} [/mm] gibt.
Nun unterscheiden sich die Stammfunktionen untereinander ja nur durch eine additive Konstante:
[mm] F_{c}(x) [/mm] = F(x) + c.
Daher ist [mm] F_c(b) [/mm] - [mm] F_c(a) [/mm] = (F(b) + c) - (F(a) + c) = F(b) - F(a) = [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}
[/mm]
Demnach kann man für das bestimmte Integral JEDE BELIEBIGE Stammfunktion von f verwenden.
mfG!
Zwerglein
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Danke.
Ich wusste doch, dass der Beweis an sich nicht mehr schwer sein konnte...
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