Berechnung der Basis < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:45 Mi 19.12.2012 | | Autor: | amarus |
| Aufgabe | Es sei x1,x2,x3,x4 eine Basis des Vektorraumes V und die Vektoren y1,zk seien wie folgt definiert:
y1:= x1+x2,
y2=x1+x3 ,
y3=x2+x3
z1:=2x1-x2
z2:=-x3+2x4
Bestimmen Sie je eine Basis für die Unterräume U1:=<y1,y2,y3> , U2:=<z1,z2> und U [mm] \cap [/mm] U2 |
Meine Frage bezieht sich auf Aufgabenteil eins ( Bestimme je eine Basis für den Unterraum U1 )
Ich dachte mir, dass das aufstellen eines LGS wohl am sinnvollsten wäre. Als Ergenis bekomme ich folgende Werte:
x1=0, x2=0, x3=0 ! Geh ich jetzt richtig in der Annahme, dass der Nullvektor also eine Basis des U1 ist ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es sei x1,x2,x3,x4 eine Basis des Vektorraumes V und die
> Vektoren y1,zk seien wie folgt definiert:
>
> y1:= x1+x2,
> y2=x1+x3 ,
> y3=x2+x3
Hallo,
wir halten erstmal fest, daß die drei Vektoren [mm] y_1, y_2 [/mm] und [mm] y_3 [/mm] Elemente des Vektorraumes V sind, und daß der von [mm] y_1, y_2 [/mm] und [mm] y_3 [/mm] erzeugte Raum [mm] U_1:= [/mm] ein Untervektorraum von V ist.
Ein Erzeugendensystem ist natürlich [mm] y_1, y_2,y_3,
[/mm]
ein Satz aus der Vorlesung sagt, daß jedes Erezugendensystem eine Basis enthält.
Du mußt nun also aus den Vektoren [mm] y_1, y_2 [/mm] und [mm] y_3 [/mm] eine möglichst große linear unabhängige Teilmenge zusammenstellen.
> Meine Frage bezieht sich auf Aufgabenteil eins ( Bestimme
> je eine Basis für den Unterraum U1 )
> Ich dachte mir, dass das aufstellen eines LGS wohl am
> sinnvollsten wäre. Als Ergenis bekomme ich folgende
> Werte:
>
> x1=0, x2=0, x3=0 !
Hm. Das ist seltsam. Was hast Du denn getan?
> Geh ich jetzt richtig in der Annahme,
> dass der Nullvektor also eine Basis des U1 ist ?
Der Nullvektor ist nie eine Basis, und er ist in keiner Basis enthalten, denn jede Menge, die den Nullvektor enthält, ist linear abhängig.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 Mi 19.12.2012 | | Autor: | amarus |
ich habe ein LGS erstellt mit folgendem inhalt:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 |0 \\ 1 & 0 & 1|0 \\ 0 & 1 & 1|0 }
[/mm]
da ich dachte das für alle x,x=1 gilt
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Hallo,
gegeben hast Du vier linear unabhängige Vektoren [mm] x_1, x_2, x_3, x_4, [/mm] und
Du interessierst Dich nun dafür, ob die Vektoren [mm] y_1, y_2 [/mm] und [mm] y_3 [/mm] mit
[mm] y_1:= x_1+x_2,
[/mm]
[mm] y_2=x_1+x_3 [/mm] ,
[mm] y_3=x_2+x_3
[/mm]
linear unabhängig sind.
> ich habe ein LGS erstellt mit folgendem inhalt:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 |0 \\
1 & 0 & 1|0 \\
0 & 1 & 1|0 }[/mm]
Wie lautet denn das zugrundeliegende LGS, welches Du hier in die Koeffizientenmatrix übersetzt hast, ausgeschrieben?
> da ich dachte das für alle x,x=1 gilt
Hm??? ??? ???
Ich habe ja den wirklich grausamen Verdacht, daß Du nach dem Motto "machen wir halt mal irgendwas mit 'nem LGS" Dich angeschickt hast, das Gleichungssystem
0= [mm] x_1+x_2
[/mm]
[mm] 0=x_1+x_3 [/mm]
[mm] 0=x_2+x_3
[/mm]
zu lösen - warum auch immer.
Dieses in obige Koeffizientenmatrix zu übersetzen, ist völliger Kokolores. Es sind die [mm] x_i [/mm] nämlich keine unbekannten Zahlen, sondern vorgegebene , als bekannt zu betrachtende Vektoren.
Sogar als linear unabhängig vorausgesetze Vektoren, was zur Folge hat, daß sofort klar ist, daß Dein obiges Gleichungssystem keine Lösung hat.
Okay, abgehakt. Neustart:
Du möchtest doch prüfen, ob [mm] y_1, y_2, y_3 [/mm] linear unabhängig sind?
Was muß man dafür untersuchen?
LG Angela
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