Berechnung, Residuum < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:50 Di 10.03.2009 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo Matheraum,
in meinem Skript steht das folgende Beispiel:
Für [mm] f(z)=exp(\bruch{1}{z}) [/mm] ist Res(f,0)=1
Meine Überlegung dazu lautet:
[mm] Res(f,0)=\limes_{z\rightarrow0}(z-1)*exp(\bruch{1}{z})=(-1)*\infty=-\infty
[/mm]
Der erste Faktor geht ja gegen (-1). Der Faktor [mm] exp(\bruch{1}{z}) [/mm] geht doch aber gegen unendlich, da der Bruch als Funktionsvorschrift der Exponentialfunktion unendlich groß wird, oder sehe ich das falsch?
Meine Fragen?
1.) Was mache ich falsch?
2.) Wie komme ich hier auf Res(f,0)=1?
Gruß, Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:06 Di 10.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Matheraum,
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> in meinem Skript steht das folgende Beispiel:
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> Für [mm]f(z)=exp(\bruch{1}{z})[/mm] ist Res(f,0)=1
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> Meine Überlegung dazu lautet:
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> [mm]Res(f,0)=\limes_{z\rightarrow0}(z-1)*exp(\bruch{1}{z})=(-1)*\infty=-\infty[/mm]
>
Wie kommst Du darauf ??????. Was hat hier der Faktor z-1 zu suchen ???
>
> Der erste Faktor geht ja gegen (-1). Der Faktor
> [mm]exp(\bruch{1}{z})[/mm] geht doch aber gegen unendlich, da der
> Bruch als Funktionsvorschrift der Exponentialfunktion
> unendlich groß wird, oder sehe ich das falsch?
Ja. f hat in 0 eine wesentliche Singularität ! Was sagt der Satz von Casorati-Weierstraß dazu ?
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> Meine Fragen?
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> 1.) Was mache ich falsch?
s.o.
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> 2.) Wie komme ich hier auf Res(f,0)=1?
Die Potenzreihenentwicklung von [mm] e^z [/mm] ist
[mm] e^z [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{z^n}{n!}
[/mm]
Dann hat f die Laurententwicklung um o:
f(z) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{z^n*n!} [/mm] = [mm] 1+\bruch{1}{z}++\bruch{1}{2z^2}+ [/mm] ......
Jetzt kannst Du am 2. Summanden das Residuum ablesen.
FRED
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> Gruß, Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Di 10.03.2009 | | Autor: | Marcel08 |
> > Hallo Matheraum,
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> > in meinem Skript steht das folgende Beispiel:
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> > Für [mm]f(z)=exp(\bruch{1}{z})[/mm] ist Res(f,0)=1
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> >
> > Meine Überlegung dazu lautet:
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> >
> [mm]Res(f,0)=\limes_{z\rightarrow0}(z-1)*exp(\bruch{1}{z})=(-1)*\infty=-\infty[/mm]
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> Wie kommst Du darauf ??????. Was hat hier der Faktor z-1 zu
> suchen ???
>
Hier habe ich wohl die isolierte Singularität falsch klassifiziert. In meinem Skript lautet ein Lemma:
Ist [mm] z_{0} [/mm] ein einfacher Pol von f, so ist [mm] Res(f,z_{0})=\limes_{z\rightarrow\ z_{0}}(z-z_{0})f(z)
[/mm]
> >
> > Der erste Faktor geht ja gegen (-1). Der Faktor
> > [mm]exp(\bruch{1}{z})[/mm] geht doch aber gegen unendlich, da der
> > Bruch als Funktionsvorschrift der Exponentialfunktion
> > unendlich groß wird, oder sehe ich das falsch?
>
>
>
> Ja. f hat in 0 eine wesentliche Singularität ! Was sagt der
> Satz von Casorati-Weierstraß dazu ?
> >
> >
> >
> >
> > Meine Fragen?
> >
> >
> > 1.) Was mache ich falsch?
>
>
> s.o.
> >
> > 2.) Wie komme ich hier auf Res(f,0)=1?
>
>
> Die Potenzreihenentwicklung von [mm]e^z[/mm] ist
>
> [mm]e^z[/mm] = [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{z^n}{n!}[/mm]
>
> Dann hat f die Laurententwicklung um o:
>
> f(z) = [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{z^n*n!}[/mm] =
> [mm]1+\bruch{1}{z}++\bruch{1}{2z^2}+[/mm] ......
>
> Jetzt kannst Du am 2. Summanden das Residuum ablesen.
Wieso am zweiten? Das wäre dann ja [mm] \bruch{1}{z}\not=1
[/mm]
> FRED
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> > Gruß, Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:52 Di 10.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{a_n}{z^n} [/mm] der Haupteil der Laurententwicklung, so ist
das Residuum = [mm] a_1
[/mm]
Der Hauptteil in Deiner aufgabe ist : $ [mm] \bruch{1}{z}++\bruch{1}{2z^2}+ [/mm] $ ......
FRED
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