Berechnung Quadraturverfahren < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo, ich bin gerade dabei für meine Numerik-Klausur zu lernen und stoße immer wieder auf Probleme bei der expliziten Berechnung verschiedener Quadraturverfahren.
Würde mir gerne am Beispiel der jeweils 2. Form, die Unterschiede zwischen Newton-Cotes-Formel, Gauß-Quadratur, Gauß-Legendre-Formel und Radau-Formel klarmachen!
Zuerst zur Newton-Cotesformel:
Hier habe ich doch, dass für die Quadraturformel [mm] Q[f]=\summe_{i=1}^{m} w_{i} [/mm] * [mm] f(x_{i}) [/mm] mit [mm] w_{i}=l_{i}(x)*w(x) [/mm]
folgende EInschränkung gilt:
1.) die m+1 Knoten sind äquidistant => [mm] x_{i}=a+\bruch{b-a}{m} [/mm] *i
2.) w(x)=1
so, wenn ich jetzt die 2. berechnen muss, gilt m=2, also habe ich die Knoten a, [mm] \bruch{a+b}{2} [/mm] und b, die gewichtsfunktion ist 1, daher entsprechen die gewichte gerade den lagrange-grundpolynomen:
[mm] l_{i}=\produkt_{j=0}^{m} \bruch{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}} [/mm] wobei [mm] i\not=j
[/mm]
Ich muss zum Schluss auf die Form [mm] Q[f]=\integral_{a}^{b}{l_{0}(x) dx}*f(a) [/mm] + [mm] \integral_{a}^{b}{l_{1}(x) dx}*f(\bruch{a+b}{2}) [/mm] + [mm] \integral_{a}^{b}{l_{2}(x) dx}
[/mm]
ist das soweit richtig?
zur berechnung der lagrange-grundpolynome:
[mm] l_{0}=\bruch{x-x_{1}}{x_{0}-x_{1}}*\bruch{x-x_{2}}{x_{0}-x_{2}}
[/mm]
[mm] l_{1}=\bruch{x-x_{o}}{x_{1}-x_{0}}*\bruch{x-x_{2}}{x_{1}-x_{2}}
[/mm]
[mm] l_{2}=\bruch{x-x_{o}}{x_{2}-x_{0}}*\bruch{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}
[/mm]
muss ich nun für [mm] x_{0}=a, [/mm] für [mm] x_{1}=\bruch{a+b}{2} [/mm] und für [mm] x_{2}=b [/mm] einsetzen?
vielen dank schonmal für eure hilfe!
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Di 28.07.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
