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| Aufgabe | Ich versuche aktuell Teilvolumen einer Kugel zu berechnen.
Generelles Problem:
Eine Kugel fällt durch ein Gitter und wird am Knotenpunkt in 8 unterschiedlich große (in Abhängigkeit der Position im Raum) Teile geschnitten. In jeder der 8 Zellen befindet sich folglich zum beliebigen Zeitpunkt t ein bestimmter Anteil des Kugelvolumens. |
Hallo zusammen,
ich kämpfe aktuell mit einem kleinen Problem.
Wie in der Aufgabenstellung beschrieben, geht es dabei um die Berechnung von Kugelstücken in Abhängigkeit der Lage der Schnittebenen im Raum.
Im 2D- Fall ist die Berechnung kein Problem.
Hier der Ansatz:
Aufstellung der Kreisfunktion
Aufstellung der horizontalen Schnittebene (als Gereadengleichung)
Integration innerhalb der INtegrationsgrenzen
Im 3D Fall kann ich das ganze rechnen solange der Schnitt der 3. Ebene durch die Mitte der Kugel verläuft.
Die 3 Schnittebenen stehen alle paarweise senkrecht zueinander. Sobald die 3. Ebene vom Mittelpunkt abweicht kann ich die einzelnen Teilsegmente nicht mehr berechnen.
Mein Ansatz war:
Allgemein lässt sich ja ein Volumen über ein Volumenintegral bestimmen:
[mm] \int_{Xu}^{Xo} \int_{Yu}^{Yo} \int_{Zu}^{Zo} \! [/mm] f(x) [mm] \, \mathrm{d}z \mathrm{d}y \mathrm{d}x
[/mm]
Als Grenzen der Integrale würde ich die jeweiligen Kreisfunktionen als obere Grenze und die Schnittgerade als untere Grenze angeben.
Für die Z-Grenzen würde das bedeuten:
Zu=Sz (Höhe der Schnittebene=XY-Ebene (Z-Wert) )
Zo wird da komplizierter:
Zo = Kurve in der ZY-Ebene + Kurve in der ZX Ebene + Z-Achsenabstand
Für Y und X kann prinzipiell ähnlich vorgegangen werden, nur beschreibt Yo die Kurve AUF der XY Ebene
und
für Xo würde ich den oberen Grenzwert auf der X-Achse angeben. Die unteren Werte wie oben für Z bereits gezeigt...
Mit der Annahme:
Radius blaue Fläche = R1
Radius rote Fläche = R2
Radius grüne Fläche = R3
folgt:
[mm] Zo=\sqrt{R2^2 - Y^2} [/mm] + [mm] \sqrt{R1^2 - X^2} [/mm] - Sz
Bei der Bestimmung der Radien R1, R2 und R3 dachte ich zu Beginn, dass diese Geschichte simpel abläuft, allerdings befürchte ich, dass auch hier, aufgrund der 3D Verschiebung des MIttelpunkts, ein wenig Arbeit ansteht...
Zu Beginn dachte ich (Bsp rote Fläche):
[mm] R2(x)=\sqrt{R^2 - X^2}
[/mm]
mit R= Radius der Kugel
Hier bin ich mir nicht sicher, ob die Abhängigkeit tatsächlich benötigt wird, oder ob die Annahme für den Radius korrekt sein könnte
So jetzt ist jede Menge geschrieben... Vielleicht findet sich ja jemand für eine Diskussion!
Würde mich freuen.
Wenn es natürlich einen Standardansatz gibt, den ich einfach nicht sehe, dann immer raus damit 
P.S. Ich hoffe das nimmt mir keiner krumm: Ich hatte dieses Problem schon einmal in einem anderen Forum gepostet. Dort allerdings trotz vieler klicks keine Hilfe erhalten. http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=548518
Ich poste den link da im anderen Forum bereits die nötigen Bilder integriert sind und die eventuell hilfreich sind.
Viele Grüße Kreisel
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=548518
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Hallo Kreisel1234
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich versuche aktuell Teilvolumen einer Kugel zu berechnen.
> Eine Kugel fällt durch ein Gitter und wird am Knotenpunkt
> in 8 unterschiedlich große (in Abhängigkeit der Position
> im Raum) Teile geschnitten.
(Du nimmst also an, dass der Kugeldurchmesser höchstens
so groß ist wie die Kantenlänge der kubischen Gitterzellen)
> In jeder der 8 Zellen befindet
> sich folglich zum beliebigen Zeitpunkt t ein bestimmter
> Anteil des Kugelvolumens.
> Im 2D- Fall ist die Berechnung kein Problem.
> Hier der Ansatz:
> Aufstellung der Kreisfunktion
> Aufstellung der horizontalen Schnittebene (als
> Gereadengleichung)
> Integration innerhalb der INtegrationsgrenzen
>
> Im 3D Fall kann ich das ganze rechnen solange der Schnitt
> der 3. Ebene durch die Mitte der Kugel verläuft.
Na, das ist doch schon mal so die halbe Miete ...
> Die 3 Schnittebenen stehen alle paarweise senkrecht
> zueinander. Sobald die 3. Ebene vom Mittelpunkt abweicht
> kann ich die einzelnen Teilsegmente nicht mehr berechnen.
>
> Mein Ansatz war:
> Allgemein lässt sich ja ein Volumen über ein
> Volumenintegral bestimmen:
>
> [mm]\int_{Xu}^{Xo} \int_{Yu}^{Yo} \int_{Zu}^{Zo} \![/mm] f(x) [mm]\, \mathrm{d}z \mathrm{d}y \mathrm{d}x[/mm]
Dabei ist der Integrand $\ [mm] f(\vec [/mm] x)\ =\ 1$ , und die Grenzen
der Teilintegrale sind von der Lage des "Knotenpunkts"
in der Kugel abhängig.
> Als Grenzen der Integrale würde ich die jeweiligen
> Kreisfunktionen als obere Grenze und die Schnittgerade als
> untere Grenze angeben.
>
> Für die Z-Grenzen würde das bedeuten:
>
> Zu=Sz (Höhe der Schnittebene=XY-Ebene (Z-Wert) )
>
> Zo wird da komplizierter:
>
> Zo = Kurve in der ZY-Ebene + Kurve in der ZX Ebene +
> Z-Achsenabstand
Ich denke, dass das recht leicht geht:
Es muss gelten: $\ [mm] S_x^2+S_y^2+Z_o^2\ [/mm] =\ [mm] R^2$
[/mm]
also $\ [mm] Z_o\ [/mm] =\ [mm] \sqrt{R^2-S_x^2-S_y^2}$ [/mm] (falls [mm] Z_o>0)
[/mm]
> Für Y und X kann prinzipiell ähnlich vorgegangen werden,
> nur beschreibt Yo die Kurve AUF der XY Ebene
> und
> für Xo würde ich den oberen Grenzwert auf der X-Achse
> angeben. Die unteren Werte wie oben für Z bereits
> gezeigt...
>
> Mit der Annahme:
> Radius blaue Fläche = R1
> Radius rote Fläche = R2
> Radius grüne Fläche = R3
(das kann ich leider nicht nachvollziehen, da mir keine
Zeichnung vorliegt ...)
> folgt:
>
> [mm]Zo=\sqrt{R2^2 - Y^2}[/mm] + [mm]\sqrt{R1^2 - X^2}[/mm] - Sz
>
> Bei der Bestimmung der Radien R1, R2 und R3 dachte ich zu
> Beginn, dass diese Geschichte simpel abläuft, allerdings
> befürchte ich, dass auch hier, aufgrund der 3D
> Verschiebung des MIttelpunkts, ein wenig Arbeit ansteht...
>
> Zu Beginn dachte ich (Bsp rote Fläche):
> [mm]R2(x)=\sqrt{R^2 - X^2}[/mm]
> mit R= Radius der Kugel
>
> Hier bin ich mir nicht sicher, ob die Abhängigkeit
> tatsächlich benötigt wird, oder ob die Annahme für den
> Radius korrekt sein könnte
>
> So jetzt ist jede Menge geschrieben... Vielleicht findet
> sich ja jemand für eine Diskussion!
> Würde mich freuen.
> Wenn es natürlich einen Standardansatz gibt, den ich
> einfach nicht sehe, dann immer raus damit
>
> P.S. Ich hoffe das nimmt mir keiner krumm: Ich hatte dieses
> Problem schon einmal in einem anderen Forum gepostet. Dort
> allerdings trotz vieler klicks keine Hilfe erhalten.
> http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=548518
> Ich poste den link da im anderen Forum bereits die
> nötigen Bilder integriert sind und die eventuell hilfreich
> sind.
>
> Viele Grüße Kreisel
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten
> gestellt:http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=548518
LG , Al-Chwarizmi
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> Mit der Annahme:
> Radius blaue Fläche = R1
> Radius rote Fläche = R2
> Radius grüne Fläche = R3
(das kann ich leider nicht nachvollziehen, da mir keine
Zeichnung vorliegt ...)
> folgt:
>
> $ [mm] Zo=\sqrt{R2^2 - Y^2} [/mm] $ + $ [mm] \sqrt{R1^2 - X^2} [/mm] $ - Sz
>
> Bei der Bestimmung der Radien R1, R2 und R3 dachte ich zu
> Beginn, dass diese Geschichte simpel abläuft, allerdings
> befürchte ich, dass auch hier, aufgrund der 3D
> Verschiebung des MIttelpunkts, ein wenig Arbeit ansteht...
> http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=548518
> Ich poste den link da im anderen Forum bereits die
> nötigen Bilder integriert sind und die eventuell hilfreich
> sind.
Ah ja, ich habe die Bilder dort jetzt auch gefunden.
Sie sind übrigens sehr schön gemacht !
LG , Al-Chwarizmi
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Vielen Dank Al-Chwarizmi,
Ich werde das Ganze mal durchrechnen und mein Ergebnis posten.
Viele Grüße
Kreisel1234
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| Aufgabe | | Ist der Ansatz soweit richtig? |
Hallo zusammen und Hallo Al-Chwarizmi,
so jetzt habe ich endlich die Zeit gefunden und mir die Formeln zusammengetragen.
Prinzipiell bin ich mir nicht zu 100% sicher, ob denn meine Integrationsgrenzen stimmen.
Wäre euch deshalb sehr dankbar wenn sich jemand findet, der kurz drüber schauen könnte.
Zum Ansatz:
Wie bereits geschrieben gilt:
V(x,y,z)= $ [mm] \int_{Xu}^{Xo} \int_{Yu}^{Yo} \int_{Zu}^{Zo} \! [/mm] $ 1 $ [mm] \, \mathrm{d}z \mathrm{d}y \mathrm{d}x [/mm] $
[Dateianhang nicht öffentlich]
Habe zur Veranschaulichung ein Bild mit angehängt - zur Erklärung der Variablen:
S1-S3= Funktionen der Kreiskurvenverläufe
Px-Pz = Schnittpunkte mit den jeweiligen Achsen
R1-R3 = Radien der Kreiskurvenverläufe. (Diese Radien sind abhängig von der senkrecht zur Fläche stehenden Achse und lassen sich über den Kugelradius R ausdrücken)
Generell hätte ich den Ansatz gemacht und die Kreisbögen über eine Standard-Kreisfunktion beschrieben:
[mm] f(x)=\wurzel{R^2 - x^2}
[/mm]
Dementsprechend gilt für die Grenzen der Integrale:
Zu = Höhe der Schnittebene XY
Zo = S2 + S3 + Pz
Beispielhaft stelle ich S2 in Abh. der Variablen x,y,z,R da:
[mm] S2=\wurzel(R2^2 [/mm] - [mm] y^2) [/mm]
mit [mm] R2=\wurzel(R^2-x^2)
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] S2=\wurzel(R^2 [/mm] - [mm] x^2 [/mm] - [mm] y^2)
[/mm]
Ist das soweit richtig?
Wenn ja würde ich die weiteren Grenzen wie folgt aufstellen:
Yu=Zu
Yo= S1
Und für die X-Grenzen würde ich generell den X-Achsenabschnitt als obere Grenze setzen, also:
Xu=Zu
Xo=Px
ISt dieser Ansatz soweit korrekt? Dann kann ich mich ans Auflösen der Integrale machen. Oder muss ich wie für meine Zo-Variable die Yo und Xo auch als Funktionen zweier Kurven + Achsenabschnitt angeben?
Dann wird das Ganze noch größer
Viele Grüße und vielen Dank bereits jetzt für HIlfe!
Kreisel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Mi 03.12.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Kreisel,
ich habe mir nun die Integrationsgrenzen auch nochmals
überlegt, und zwar für die folgende Situation:
Die Kugel hat den Mittelpunkt in O(0|0|0) und den Radius R.
Der "Gitterpunkt" G(X|Y|Z) liege irgendwo im Inneren
der Kugel. Dann betrachte ich jenes Kugelsegment S, das
sich vom Punkt G aus in die 3 positiven Achsenrichtungen
erstreckt, also:
$\ S\ =\ \{\,(x|y|z)\ |\ x\ge X\ \wedge\ y\ge Y\ \wedge\ z\ge Z\ \wedge\ x^2+y^2+z^2\,\le\,R^2\,)$
Dann ist das Integral für das Volumen:
$\ V_S\ = \integral_{X}^{\sqrt{R^2-Z^2-Y^2}\ } \integral_{Y}^{\sqrt{R^2-Z^2-x^2}\ } \integral_{Z}^{\sqrt{R^2-y^2-x^2}} \, \mathrm{d}z\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}x$
(beachte bitte die Groß- und Kleinschreibungen, die ich
benützt habe, um Indices zu sparen)
LG , Al-Chwarizmi
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Vielen Dank für deine Hilfe Al-Chwarizmi! Werde das Ganze übers Wochenende mal angehen.
Hatte mich irgendwie zu sehr auf die einzelnen Kreisfunktionen auf den Flächen festgefahren!
So schauen die Integrale auch gleich ein Stück angenehmer aus!
Grüße und schönes Wochenende!
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Hallo zusammen,
die Aussage, "jetzt schauen die Integrale besser aus" war wohl ein bisschen schnell...
Ich habe die Integration mal durch MathCAD laufen lassen mit folgendem Ergebnis:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Leider ist MathCAD (bzw. sind meine Fähigkeiten in MathCAD) was die Integration mithilfe von Substitution angeht eher begrenzt. Deshalb war für mich mit MathCAD hier Schluss.. Da kam kein für mich verwendbares Ergebnis bei raus...
Ich habe den zweiten Integrationsschrtitt dann händisch durchgeführt mit folgendem Ergebnis:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Jetzt stehe ich allerdings vor dem Problem, dass ich hier händisch nicht mehr weiterkomme. Teilweise lässt sich die Funktion noch integrieren, aber bei den beiden arcsin-Termen ist für mich leider Schluss...
Hat mir hierbei eventuell jemand einen Tipp? Ob Programm oder Lösungsantz oder sonst was, bin für alles dankbar!
Viele Grüße!
Kreisel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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einen letzten Versuch würde ich gerne noch starten.
Danach lasse ich euch auch in Frieden
Die Ansätze, bzw. die ersten beiden Rechenschritte habe ich bereits hinbekommen.
Beim zweiten hängt es leider an der Kenntnis was die Integration solcher Terme angeht.
Wie beschrieben, gibt mein Matheprogramm das ganze nicht her.
Falls jemand die Zeit findet und die ersten beiden Rechenschritte überprüfen könnte, bzw mir einen Tipp zum letzten Rechenschritt geben könnte, wäre das super!
Danke euch im voraus!
Viele Grüße
Kreisel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Mi 24.12.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo zusammen,
Könnt ihr mir ein passenden Matheprogramm nennen, mit welchem ich auch Integrationen in Abh. von Variablen lösen kann? Arbeite hier mit MathCAD, bin da aber nicht so sehr bewandert.
Die INtegration in Abhängigkeit läuft auch, allerdings kann das Programm Integrationen durch Substitutionen nicht durchführen --> Ergebnisse werden imaginär ausgegeben und das hilft mir leider nicht wirklich weiter.
Händisch lässt sich das Ganze mit Sicherheit auch rechnen, alelrdings ist die Funktion spätestens nach dem zweiten Integrationsschritt leicht unhandlich
Und wenn sich noch jemand findet der kurz über den Lösungsansatz, also speziell die INtegrationsgrenzen schauen könnte wäre das super!
Vielen Dank und viele Grüße
Kreisel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Fr 12.12.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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