Berechnung Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Berechne den folgenden Grenzwert:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}((x²+1)/(x²-2))^{x²} [/mm] |
Als erstes habe ich den Ansatz: [mm] e^{x²}ln((x²+1)/(x²-2)) [/mm] gewählt und im folgenden erstmal nur x²*ln((x²+1)/(x²-2)) betrachtet.
Durch polynomdivision des klammerausrucks kam ich dann auf x²ln (1+(3/x²-2)).
Danach habe ich im zähler und im nenner mit (3/x²-2) erweitert.
Ich habe dann also eine funktion f(x)=x²*(3/x²-2) und eine funktion g(x)=(ln(1+(3/x²-2))/(3/x²-2).
f(x) geht für x gegen unendlich gegen 3! Das ist klar! Aber was passiert mit g(x)?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:19 Fr 25.07.2008 | | Autor: | abakus |
> Berechne den folgenden Grenzwert:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}((x²+1)/(x²-2))^{x²}[/mm]
> Als erstes habe ich den Ansatz: [mm]e^{x²}ln((x²+1)/(x²-2))[/mm]
> gewählt und im folgenden erstmal nur x²*ln((x²+1)/(x²-2))
> betrachtet.
> Durch polynomdivision des klammerausrucks kam ich dann auf
> x²ln (1+(3/x²-2)).
> Danach habe ich im zähler und im nenner mit (3/x²-2)
> erweitert.
> Ich habe dann also eine funktion f(x)=x²*(3/x²-2) und eine
> funktion g(x)=(ln(1+(3/x²-2))/(3/x²-2).
> f(x) geht für x gegen unendlich gegen 3! Das ist klar! Aber
> was passiert mit g(x)?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Hallo,
das sieht recht kompliziert aus (was du machst).
Es ist [mm] (\bruch{x²+1}{x²-2})^{x²}=(1+\bruch{3}{x²-2})^{x²}=(1+\bruch{3}{x²-2})^{(x²-2)+2}=(1+\bruch{3}{x²-2})^{\bruch{(x²-2)}{3}*3+2}
[/mm]
Der Grenzwert von [mm] (1+\bruch{3}{x²-2})^{\bruch{(x²-2)}{3}} [/mm] ist offensichtlich e, der gesamte Grenzwert dann [mm] e^3.
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:57 Sa 26.07.2008 | | Autor: | sweety_88 |
Ok, so ist es natürlich einfacher und vor allem nicht so umständlich! Aber auf die idee mit dem erweitern zu kommen... solche konstruktiven ideen fallen mir in prüfungen meist nicht ein :)!
Aber trotzdem großes dankeschön! Den trick kann man sich ja jetzt mal merken =)!
|
|
|
| |
|
> Berechne den folgenden Grenzwert:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}((x²+1)/(x²-2))^{x²}[/mm]
> Als erstes habe ich den Ansatz: [mm]e^{x²}ln((x²+1)/(x²-2))[/mm]
> gewählt und im folgenden erstmal nur x²*ln((x²+1)/(x²-2))
> betrachtet.
> Durch polynomdivision des klammerausrucks kam ich dann auf
> x²ln (1+(3/x²-2)).
> Danach habe ich im zähler und im nenner mit (3/x²-2)
> erweitert.
> Ich habe dann also eine funktion f(x)=x²*(3/x²-2) und eine
> funktion g(x)=(ln(1+(3/x²-2))/(3/x²-2).
> f(x) geht für x gegen unendlich gegen 3! Das ist klar! Aber
> was passiert mit g(x)?
Vielleicht weisst Du ja, dass [mm] $\ln(1+x)=x+o(x)$ [/mm] ist, für [mm] $x\rightarrow [/mm] 0$. Dann folgt
[mm]\lim_{x\rightarrow\infty}\ln\left[\left(\frac{x^2+1}{x^2-2}\right)^{x^2}\right]=\lim_{x\rightarrow \infty}\left[x^2\cdot\ln\left(1+\frac{3}{x^2-2}\right)\right] = \lim_{x\rightarrow \infty}\left[x^2\cdot \left(\frac{3}{x^2-2}+o\left(\frac{3}{x^2-2}\right)\right)\right]=\lim_{x\rightarrow \infty}\left[x^2\cdot \frac{3}{x^2-2}\right]=3[/mm]
|
|
|
|
