Berechnung Ebene mit 4 Punkten < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:22 Di 07.02.2006 | | Autor: | Jan2006 |
Hallo zusammen!
Ich habe folgende Aufgabe bekommen:
Berechne den Inhalt des Vierecks mit den Punkten [mm] P_{1} \vektor{0 \\ 0\\ 0} [/mm] , [mm] P_{2} \vektor{3 \\ 0\\ -2} [/mm] , [mm] P_{3} \vektor{1 \\ 2\\ 0} [/mm] und [mm] P_{2} \vektor{0 \\ 3\\ 1} [/mm] . Wie lautet die Gleichung der Ebene durch die vier Punkte?
Meine Lösung:
[mm] \vec{r_{1}}=\vektor{0 \\ 0\\ 0}
[/mm]
[mm] \vec{r_{2}}=\vektor{3 \\ 0\\ -2} [/mm]
[mm] \vec{r_{3}}=\vektor{1 \\ 2\\ 0}
[/mm]
[mm] \vec{r_{4}}=\vektor{0 \\ 3\\ 1}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{P_{1}P_{2}} [/mm] = [mm] \vec{r_{2}} [/mm] - [mm] \vec{r_{1}} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 0\\ -2} [/mm] - [mm] \vektor{0 \\ 0\\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 0\\ -2}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{P_{1}P_{3}} [/mm] = [mm] \vec{r_{3}} [/mm] - [mm] \vec{r_{1}} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2\\ 0} [/mm] - [mm] \vektor{0 \\ 0\\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2\\ 0}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{P_{1}P_{4}} [/mm] = [mm] \vec{r_{4}} [/mm] - [mm] \vec{r_{1}} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 3\\ 1} [/mm] - [mm] \vektor{0 \\ 0\\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 3\\ 1}
[/mm]
[mm] \vec{r} (\lambda, \mu, \nu)=\vec{r_{1}} [/mm] + [mm] \lambda( \vec{r_{2}} [/mm] - [mm] \vec{r_{1}}) [/mm] + [mm] \mu (\vec{r_{3}} [/mm] - [mm] \vec{r_{1}}) [/mm] + [mm] \nu (\vec{r_{4}} [/mm] - [mm] \vec{r_{1}}) [/mm] = [mm] \vektor{0+3 \lambda + \mu \\ 2 \mu + 3 \nu \\ 2 \lambda + \nu}
[/mm]
Ist das richtig?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen Dank im voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:03 Di 07.02.2006 | | Autor: | riwe |
zunächst ist eine ebene durch 3 (!) punkte eindeutig bestimmt.
(da ein punkt O ist, kannst du die einzelnen ortsvektoren sofort hinschreiben).
das volumen, das von dem prisma der 4 punkte aufgespannt wird, kannst du mit dem spatprodukt berechnen.
V = |( [mm] \vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|
[/mm]
[mm] \vec{a} \times \vec{b} [/mm] = [mm] \vektor{3\\ 0\\-2} \times \vektor{1\\ 2\\-4}=\vektor{4\\ -2\\-6}
[/mm]
mit c skalar multipliziert, ergibt V = 0, d.h. die 3 vektoren liegen in einer ebene, und damit auch die 4 punkte!
dann hast du sofort (aus dem kreuzprodukt, darum habe ich es hin geschrieben) die ebene E: 2x - y + 3z = 0
werner
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