Berechnen der Bogenlänge < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:02 So 14.05.2006 | | Autor: | Olek |
| Aufgabe 1 | Gegeben sei die Kurve $f(t)=(15 cos t, 15 sin t, 8t)$. Dabei läuft t von 1 bis 10.
Berechnen sie den Wert der Bogenlänge. |
| Aufgabe 2 | Sei [mm] f(x)=3+\wurzel{3}x [/mm] für x [mm] \in [/mm] [0,2]. Wir betracheten die Ebene Kurve [mm] t\mapsto(t,f(t)) [/mm] für t [mm] \in [/mm] [0,2].
Berechnen sie die Bogenlänge L der Kurve. |
Hallo Matheraum!
Zu den beiden Kurven gab es noch weitere Aufgabe, die ich alle lösen konnte. Wie man die Bogenlänge berechnet ist mir jedoch vollkommen unklar und wird mir aus der Vorlesung auch nicht klar.
Es wäre schön wenn mir da jemand weiterhelfen kann.
Schönen Sonntag,
Olek
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:06 So 14.05.2006 | | Autor: | Janyary |
hi olek,
also wir hatten ein bsp. dazu.. ich hab also einfach mal versucht das anhand des bsp. zu loesen.
zur a) [mm] f(t)=\vektor{15cost\\15sint\\8t}
[/mm]
s sei die bogenlaenge.
s= [mm] \integral_{1}^{10}\wurzel{x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}
[/mm]
x=15cost y=15sint z=8t
x'=-15sint y'=15cost z=8
s= [mm] \integral_{1}^{10}\wurzel{(-15sint)^{2}+(15cost)^{2}+8^{2}}
[/mm]
= [mm] \integral_{1}^{10}\wurzel{225sin^{2}t+225cos^{2}t+64}
[/mm]
= [mm] \integral_{1}^{10}\wurzel{225(sin^{2}t+cos^{2}t)+64}
[/mm]
[mm] =\integral_{1}^{10}\wurzel{289}
[/mm]
[mm] =\integral_{1}^{10} [/mm] 17
s=17*10-17
s=153
ich denke das muesst so funktionieren. leider kann ich nicht einschaetzen ob das vom wert her passen kann. aber so wuerde ich zumindest rangehen.
hoffe das hat dir trotzdem erstmal geholfen.
LG Jany :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 So 14.05.2006 | | Autor: | Olek |
Hallo,
ich habe jetzt was gefunden, was eigentlich ganz gut hinkommt, würde mich aber freuen, wenn mir das Ergebnis jemand bestätigen könnte.
Ich habe die Formel [mm] B(x)=\wurzel{1+f'(x)^{2}} [/mm] benutzt.
Ich erhalte dann [mm] \wurzel{1+\wurzel{3}^2}=4
[/mm]
Ist das der richtige Weg? Ich hätte dann aber gar nicht berückichtig, von wo bis wo x bzw. t geht.
MfG,
Olek
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:49 So 14.05.2006 | | Autor: | Fahnder |
Hi,
also die Bögenlänge errechnet sich aus B(t) = [mm] \integral_{2}^{0}{||f´(t)|| dt}
[/mm]
||f´(t)|| ist ja die Geschwindigkeit und ergibt 2. Was du errechnet hast, ist nur die Geschwindigkeit, allerdings hast du die Wurzel vergessen. jetzt muss du noch das Intervall von 0 bis 2 rechnen
[mm] \integral_{2}^{0}{||f´(t)|| dt}= [/mm] 2*2 -2*0 = 4
Und damit hast du dann die Bögenlänge deiner Aufgabe
Fahnder
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
. Bogenlänge ist das Integral über diesen Ausdruck.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
siehe oben.
