Ber.Ableitung mit "h-Methode" < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:01 Di 25.09.2007 | | Autor: | Isaak |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Ableitung [mm] f'(x_{0}) [/mm] mit der "h-Methode" für f mit;
f(x)= 2x³-x² ; [mm] x_{0} [/mm] |
Hey,
Wir haben heute angefangen Ableitungen zu berechnen, bzw. haben es versucht, doch leider war der Lehrer nicht im Stande mir dies zu erklären.
Die Ableitung [mm] f'(x_{0}) [/mm] mit der "h-Methode" wurde uns gegeben;
[mm] \bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}
[/mm]
Doch nun scheitere ich daran die gegebenen Werte richtig einzufügen, vielleicht kann einer von euch mir erklären wie es funktioniert.
Und wenn möglich auch eine kurze Erklärung des Nutzen einer Ableitung, bzw. eine Erklärung der Formel geben!
mfg isaak
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:11 Di 25.09.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
die Idee ist folgende:
Angenommen, du hast zwei Punkte, die auf einem Graphen einer Funktion f liegen, dann kannst du eine Gerade durch diese Punkte legen (das ist dann eine Sekante) und du kannst dann entsprechend die Steigung der Geraden mit [mm] $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ [/mm] berechnen.
Da man nun die Steigung in einem Punkt berechnen will, hält man einen Punkt (den wir mal [mm] $x_0$ [/mm] nennen, und verschieben dann den anderen Punkt beliebig nahe an den anderen Punkt. Wenn du dir dies vorstellst, so wirst du sehen, dass man dann hinterher eine Tangente herausbekommt. Dann hast du nach wie vor zwei Punkte, und dann kannst du mit der oben genannten Formel ebenfalls die Steigung berechnen. Das macht man hier auch:
[mm] $m=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{x_0+h-x_0}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
[/mm]
Soweit klar?
Wenn ich jetzt die Steigung in einem Punkt bestimmen will, dann lasse ich h gegen Null gehen, so wird dann der Punkt [mm] $P(x_0+h;f(x_0+h))$ [/mm] dann nahezu gleich dem Punkt [mm] $Q(x_0;f(x_0))$.
[/mm]
Okay, setzten wir das ein:
f(x) ist gegeben durch:
[mm] $f(x)=2x^3-x^2$.
[/mm]
Nun setztn wir sowohl [mm] $x_0+h$ [/mm] als auch [mm] $x_0$ [/mm] ein, dann steht dort folgendes:
[mm] $m=\frac{(2*(x_0+h)^3-(x_0+h)^2)-(2x_0^3-x_0^2)}{h}$
[/mm]
Jetzt weiter rechnen und h gegen Null gehen lassen. Dafür sollte man dann das h aus dem Nenner streichen können, denn sonst kann man noch nicht viel über die Steigung ausdrücken.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 Mi 26.09.2007 | | Autor: | Isaak |
| Aufgabe | [mm] \bruch{(2*(1+h)³-(1+h)²))-(2*1³-1²)}{h}
[/mm]
[mm] \bruch{(2*(1+h)³-(1+h)²))-1}{h}
[/mm]
[mm] \bruch{(2+4h+h^{4})-(1+2h+h²))-1}{h}
[/mm]
[mm] \bruch{2h+h²}{h}
[/mm]
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Hey,
ich hatte leider vergessen zu erwähnen, dass [mm] x_{0}=1 [/mm] ist!
Meine Frage ist nun wie ich h gegen Null laufen lassen soll, genauer möchte ich gerne wissen was das heißt und ob ich die "Ableitung" bis zum letzten Schritt richtig hab?
mfg isaak
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 Mi 26.09.2007 | | Autor: | Isaak |
| Aufgabe | [mm] \bruch{(2*(h^3+3h^2+3h+1)-(1+2h+h²))-1}{h}
[/mm]
[mm] \bruch{(2h³+5h²+4h+1)-1}{h}
[/mm]
[mm] \bruch{(h*(2h²+5h+4))}{h}
[/mm]
=2h²+5h+4 / :2
=h²+2,5h+2 |
Hey,
danke, dass ihr mir versucht zu helfen und ich trotzdem des öfteren auf dem Schlauch stehe.
Ich habe es nun versucht zu berechnen, doch mir schwarnt an der Lösung schon, dass ich wahrscheinlich wieder falsch gerechnet habe! Könnte einer die Aufgabe bitte korrigieren?
mfg isaak
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Holà Isaak,
> [mm]\bruch{(2*(h^3+3h^2+3h+1)-(1+2h+h²))-1}{h}[/mm]
>
> [mm]\bruch{(2h³+5h²+4h+1)-1}{h}[/mm]
>
> [mm]\bruch{(h*(2h²+5h+4))}{h}[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Bis hierher goldrichtig, nun das $h$ rauskürzen.
Es bleibt [mm] $2h^2+5h+4$
[/mm]
Nun [mm] $h\to [/mm] 0$ gehen lassen...
Dann geht [mm] $2h^2+5h+4$ [/mm] gegen [mm] $2\cdot{}0^2+5\cdot{}0+4=0+0+4=4$
[/mm]
Und das ist dann per definitionem $f'(1)$
> =2h²+5h+4 / :2 ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
> =h²+2,5h+2
Hier wird's falsch. Lasse (s.o.) [mm] $h\to [/mm] 0$ gehen...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:45 Mi 26.09.2007 | | Autor: | Isaak |
Danke,
für deine Hilfe schachuzipus. Ich habe nun die ganze Zeit mein Mathebuch aufm Tisch aufgeschlagen mit der Abbildung eines Koordinatenkreuz'(und einer Abbildung einer Beispielfunktion und Ableitung) und nun versuche ich krampfhaft herauszufinden welcher Punkt bzw. welche Angabe durch f'(1)=4 auf dem Koordinatenkreuz angegeben bzw. abgebildet wird. Abschließend könntest du bzw. jemand anderes genau erklären was diese "4" jetzt aussagt?
mfg isaak
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Hallo,
f'(1)=4 bedeutet, der Anstieg an der Stelle x=1 beträgt 4, das kannst du dir verdeutlichen, indem du dir zunächst die Funktion [mm] 2x^{3}-x^{2} [/mm] zeichnest, mache dir eine Wertetabelle, zur Funktion gehört auf jeden Fall der Punkt (1; 1), setze x=1 in deine Funktionsgleichung ein, im Punkt (1; 1) zeichnest du jetzt eine lineare Funktion, also Gerade, die den Anstieg 4 hat,
[Dateianhang nicht öffentlich]
du siehst sicherlich auch sofort, dass an der Stelle x=0 der Anstieg 0 ist, also f'(0)=0, das ist dann die Gerade y=0
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:22 Fr 28.09.2007 | | Autor: | Isaak |
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> du siehst sicherlich auch sofort, dass an der Stelle x=0
> der Anstieg 0 ist, also f'(0)=0, das ist dann die Gerade
> y=0
Hey Steffi,
danke für die Erläuterung!Bis auf die oben zitierte Aussage wurde mir alles klar. Bezieht sich diese auf die Funktion; f1(x)=2x³-x² , wenn man 2*0³-0² einfügt?
mfg isaak
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:52 Fr 28.09.2007 | | Autor: | Blech |
> >
> > du siehst sicherlich auch sofort, dass an der Stelle x=0
> > der Anstieg 0 ist, also f'(0)=0, das ist dann die Gerade
> > y=0
>
> Hey Steffi,
> danke für die Erläuterung!Bis auf die oben zitierte
> Aussage wurde mir alles klar. Bezieht sich diese auf die
> Funktion;
[mm]f(x)=2x^3-x^2 [/mm]
> wenn man 2*0³-0² einfügt?
Das ist [mm]f(0)=2\cdot 0^3 - 0^2=0[/mm]
Der Anstieg bezieht sich auf
[mm]\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}[/mm] für h gegen 0.
Rechne das doch nochmal aus, aber diesmal setz keinen Wert für x ein, sondern laß die x stehen.
[mm]\frac{(2(x+h)^3-(x+h)^2)-(2x^3-x^2)}{h}=\dots[/mm]
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hey,habe auch noch etwas startschwierigkeiten bei der sache....daher habe ich jetzt auch mal angemeldet.....jetzt meine frage, inden zweiten schritt bei h ->0 da steht noch 5h quadrat .....im nächsten schritt eins tiefer steht das quadrat nicht mehr.... fällt das in einen gedanklichen zwischenschritt weg .... danke
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Hallo wetzelmann und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> hey,habe auch noch etwas startschwierigkeiten bei der
> sache....daher habe ich jetzt auch mal angemeldet.....jetzt
> meine frage, inden zweiten schritt bei h ->0 da steht
> noch 5h quadrat .....im nächsten schritt eins tiefer steht
> das quadrat nicht mehr.... fällt das in einen gedanklichen
> zwischenschritt weg .... danke
Du solltest genauer beschreiben, worauf du dich beziehst, es ist schließlich schon ne Weile her ... 
Ich vermute, du meinst dies:
In dem Schritt von der 2ten zur 3ten Zeile sind 2 Umformungen zugleich geschehen.
Wenn du eine Zeile höher schaust, steht ja da
[mm] $\bruch{(2h³+5h²+4h+1)-1}{h}$
[/mm]
Da heben sich erstmal im Zähler die 1 und die -1 zu 0 weg
[mm] $=\bruch{2h³+5h²+4h}{h}$
[/mm]
Dann wurde im Zähler h ausgeklammert
[mm] $=\bruch{\red{h}\cdot{}(2h^2+5h+4)}{\red{h}}$
[/mm]
Nun kann man das h im Zähler gegen das h im Nenner weghauen
[mm] $=2h^2+5h+4$
[/mm]
Nun schlussendlich [mm] $h\to [/mm] 0$ laufen lassen ...
LG
schachuzipus
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
