Benötige hilfe bei der HNF < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:26 So 19.11.2006 | | Autor: | c51rd2 |
| Aufgabe | Gegeben sind im Anschauungsraum die Punkte
A(4/3/4) ; B(2/3/1) ; C (3/3/-1) ; D (5/5/5) ;
a.) Zeigen Sie, dass die 4 Punkte A,B,C und D nicht in einer Ebene liegen.
b.) Die Punkte A,B und C bestimmen eine Ebene E. Welcher Abstand hat der Punkt D von der Ebene E? |
Hallo erstmal.
Ich kapier bei b nicht wie ich die HNF anwenden soll .. bis vorhin wusste ich nichteinmal was des für eine war aber ich finde im Netz oder in meinen Büchern kein Beispiel oder eine gescheite Erklärung dass ich es kapiere -.- Könnt ihr mir mal bitte erklären wie ich bei der Aufgabe b zum Ergebnis komme, sodass auch ich es kapiere?
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. da ich in diesem forum mir sicher bin eine antwort zu bekommen.)
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Hi, c51rd2,
willst Du nun wissen WIE's geht oder WIESO man mit der HNF Abstände berechnen kann?
> Gegeben sind im Anschauungsraum die Punkte
>
> A(4/3/4) ; B(2/3/1) ; C (3/3/-1) ; D (5/5/5) ;
>
> a.) Zeigen Sie, dass die 4 Punkte A,B,C und D nicht in
> einer Ebene liegen.
Die Aufgabe hast Du gelöst? (Musst halt zeigen, dass die Vektoren [mm] \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AD} [/mm] linear unabhängig sind.)
> b.) Die Punkte A,B und C bestimmen eine Ebene E. Welcher
> Abstand hat der Punkt D von der Ebene E?
> Ich kapier bei b nicht wie ich die HNF anwenden soll .. bis
> vorhin wusste ich nichteinmal was des für eine war aber ich
> finde im Netz oder in meinen Büchern kein Beispiel oder
> eine gescheite Erklärung dass ich es kapiere -.- Könnt ihr
> mir mal bitte erklären wie ich bei der Aufgabe b zum
> Ergebnis komme, sodass auch ich es kapiere?
Aber die "übliche" Normalenform der Ebene kennst Du?
Das ist sowas wie
[mm] 2x_{1} [/mm] - [mm] 2x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] - 6 = 0
(Das ist eine BELIEBIGE Ebene; nicht die aus Deiner Aufgabe!)
Um daraus die HNF zu machen, musst Du
(1) dafür sorgen, dass die "hintere" Konstante negativ ist.
(Das ist in meinem Beispiel schon der Fall: -6;
wäre sie positiv, würde ich noch mit -1 durchmulitiplizieren.)
(2) die ganze Gleichung durch den Betrag des Normalenvektors dividieren.
( Der Normalenvektor ist in meinem Beispiel:
[mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ -2 \\ 1}; [/mm]
seine Länge (= sein Betrag) ist:
n = [mm] \wurzel{2^{2}+(-2)^{2}+1^{2}} [/mm] = 3.
Daher ist die HNF meiner obigen Ebene:
[mm] \bruch{1}{3}*(2x_{1} [/mm] - [mm] 2x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] - 6) = 0. )
Wenn Du nun wissen möchtest, welchen Abstand |d| ein Punkt wie z.B. D(-1; -3; 4) von dieser Ebene hat, dann setzt Du ihn in die HNF ein. Der Betrag des Ergebnisses ist dar gesuchte Abstand.
Also in meinem Beispiel:
|d| = [mm] |\bruch{1}{3}*(2*(-1) [/mm] - 2*(-3) + 4 - 6)|
= [mm] |\bruch{1}{3}*(-2 [/mm] + 6 + 4 - 6)| = [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:17 So 19.11.2006 | | Autor: | c51rd2 |
rehi
> willst Du nun wissen WIE's geht oder WIESO man mit der HNF Abstände berechnen kann?
ja Wie wollte ich wissen und mit deinen beispeilen ahtte ich auch einen kleinen einblick bekommen nur ich find bzw. weiß einfach nicht woher ich bei meinen aufgaben die -6 oder ähnliches bekomme
> Aber die "übliche" Normalenform der Ebene kennst Du?
dass was du da hingeschrieben hast ja kenne ich nur wie gesagt keine ahnung woher die -6 kommt ... -.-
> Daher ist die HNF meiner obigen Ebene:
$ [mm] \bruch{1}{3}\cdot{}(2x_{1} [/mm] $ - $ [mm] 2x_{2} [/mm] $ + $ [mm] x_{3} [/mm] $ - 6) = 0. )
Wenn der betrag jetzt 5.4 wäre müsste ich da statt [mm] \bruch{1}{3}\ [/mm] , [mm] \bruch{1}{5.4}\
[/mm]
> Also in meinem Beispiel:
|d| = $ [mm] |\bruch{1}{3}\cdot{}(2\cdot{}(-1) [/mm] - 2*(-3) + 4 - 6)|$
und woher habt ihr da die Zahlen -1 & -3 ?
PS: bis jetzt hab ich als Normalenvektor bei mir [mm] \pmat{ 2 \\ 0 \\ 15 }
[/mm]
und ich habe zwar in einem Buch die lösungen von [mm] \pmat{ 4 & 3 & 4 } [/mm] +r [mm] \pmat{ 2 & 0 & 3 } [/mm] +s [mm] \pmat{ 1 & 0 & 5 } [/mm]
und da steht
Da die Ebene um 3 LS paralell zur x1,x3- Ebene liegt und der Punkt D(5/5/5) um 5 LS in X2 Richtung Verschoben ist, beträgt der Abstand d = 2 LE.
Nur kapier ich den lösungs weg nicht und das will ich hier herrausfinden -.-
könnt ihr mir da kurz den weg erklären dass auch ich es kapiere ?
danke
mfg Domi
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Hi, c51rd2,
>> Aber die "übliche" Normalenform der Ebene kennst Du?
>
> dass was du da hingeschrieben hast ja kenne ich nur wie
> gesagt keine ahnung woher die -6 kommt ... -.-
Ist doch ein VÖLLIG WILLKÜRLICH GEWÄHLTES BEISPIEL!
> > Daher ist die HNF meiner obigen Ebene:
> [mm]\bruch{1}{3}\cdot{}(2x_{1}[/mm] - [mm]2x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] - 6) = 0. )
>
> Wenn der betrag jetzt 5.4 wäre müsste ich da statt
> [mm]\bruch{1}{3}\[/mm] , [mm]\bruch{1}{5.4}\[/mm]
Richtig!
> > Also in meinem Beispiel:
> |d| = [mm]|\bruch{1}{3}\cdot{}(2\cdot{}(-1) - 2*(-3) + 4 - 6)|[/mm]
>
> und woher habt ihr da die Zahlen -1 & -3 ?
Ich hab' doch den Punkt D(-1; -3; 4) als Beispiel vorgegeben!
> PS: bis jetzt hab ich als Normalenvektor bei mir [mm]\pmat{ 2 \\ 0 \\ 15 }[/mm]
Der kann aber nicht stimmen!
> und ich habe zwar in einem Buch die lösungen von [mm]\pmat{ 4 & 3 & 4 }[/mm] +r [mm]\pmat{ 2 & 0 & 3 }[/mm] +s [mm]\pmat{ 1 & 0 & 5 }[/mm]
Das ist die Parameterform Deiner Ebene ABC.
> und da steht
>
> Da die Ebene um 3 LS parallel zur x1,x3- Ebene liegt
was Du daran erkennst, dass BEIDE Richtungsvektoren
parallel zur [mm] x_{1}x_{3}-Ebene [/mm] liegen (bei beiden ist [mm] x_{2}=0 [/mm] !!)
> und der Punkt D(5/5/5) um 5 LS in X2 Richtung Verschoben ist,
weil seine mittlere, also die [mm] x_{2}-Koordinate, [/mm] gleich 5 ist
> beträgt der Abstand d = 2 LE.
Weil der Aufpunkt Deiner Ebene als [mm] x_{2}-Koordinate [/mm] gleicg 3 hat, liegt Deine Ebene 3 LE "über" der [mm] x_{2}-Ebene. [/mm]
Der Punkt D wiederum ligt 5 LE "über" dieser Ebene. Demnach: Entfernung Punkt/Ebene =2.
> Nur kapier ich den lösungs weg nicht und das will ich hier
> herausfinden -.-
Nur hat das halt gar nichts mit der HNF zu tun und funktioniert auch nur, weil diese Ebene parallel zu [mm] x_{1}x_{3}-Ebene [/mm] liegt.
Hier nun der Weg über die HNF:
(1) Bestimme einen Normalenvektor von E mit Hilfe des Kreuzproduktes der Richtungsvektoren:
[mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 3} [/mm] x [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 5} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ -7 \\ 0} [/mm] = [mm] -7*\vektor{0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Wir nehmen also [mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] als Normalenvektor.
(Auch an diesem siehst Du, dass die Ebene parallel zur [mm] x_{1}x_{3}-Ebene [/mm] liegt!)
(2) Jetzt eingesetzt in die "Formel" der Normalenform, also in
[mm] \vec{n}\circ (\vec{x} [/mm] - [mm] \vec{a}) [/mm] = 0,
ergibt: [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} \circ (\vec{x} [/mm] - [mm] \vektor{4 \\ 3 \\ 4}) [/mm] = 0
Ausmultipliziert: [mm] x_{2} [/mm] - 3 = 0.
(3) Da die Konstante -3 bereits das richtige Vorzeichen hat (Minus!) und der Normalenvektor zufälliger Weise auch schon die Länge 1, ist dies bereits die HNF! (Glück gehabt!)
Drum brauchst Du jetzt nur noch den Punkt D(5; 5; 5) einzusetzen und Du hast den gesuchten Abstand:
|d| = |5 - 3 | = 2
Kein Zufall: Da kommt natürlich dasselbe raus wie in der ersten Rechnung!
mfG!
Zwerglein
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