Benennung, Singularitäten < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:59 Mi 18.03.2009 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo Matheraum,
wir haben die folgende Funktion gegeben. Es sollen dabei die Singularitäten angegeben und klassifiziert werden.
[mm] f(z)=\bruch{1}{4+(z-1)^{2}}+e^{\bruch{1}{z-3i}}(z-3i)^{2}
[/mm]
Mein Lösungsvorschlag lautet wie folgt:
Zunächst würde ich die Funktion folgendermaßen auftrennen
[mm] f_{1}(z)=\bruch{1}{4+(z-1)^{2}} [/mm]
sowie
[mm] f_{2}(z)=e^{\bruch{1}{z-3i}}(z-3i)^{2}
[/mm]
Dann betrachte ich den Nenner der Funktion [mm] f_{1}(z)
[/mm]
[mm] 4+(z-1)^{2}=0
[/mm]
[mm] 4+z^{2}-2z+1=0
[/mm]
[mm] z^{2}-2z+5=0
[/mm]
Die pq- Formel liefert
[mm] z_{1,2}=1\pm\wurzel{1-5}
[/mm]
[mm] z_{1,2}=1\pm\wurzel{-4}
[/mm]
[mm] z_{1,2}=1\pm\wurzel{-1}\wurzel{4}
[/mm]
[mm] z_{1,2}=1\pm2i, [/mm] mit [mm] i\in\IC
[/mm]
Wir erhalten mit [mm] 1\pm2i [/mm] einen Pol der Ordnung 2 und betrachten nun die Funktion [mm] f_{2}(z)
[/mm]
Die Funktion ist offensichtlich holomorph auf [mm] \IC [/mm] mit Ausnahme des Punktes 3i. Die Singularität [mm] z_{0} [/mm] lautet also 3i, mit [mm] i\in\IC. [/mm] Es müsste sich dabei um eine wesentliche Singularität handeln.
Meine Bitte:
Ich würde mich freuen, wenn jemand, ein letztes Mal zu diesem Thema, nochmal seinen Kommentar zu meinem Lösungsvorschlag abgeben könnte. Vielen Dank!
Gruß, Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:20 Mi 18.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Matheraum,
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> wir haben die folgende Funktion gegeben. Es sollen dabei
> die Singularitäten angegeben und klassifiziert werden.
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> [mm]f(z)=\bruch{1}{4+(z-1)^{2}}+e^{\bruch{1}{z-3i}}(z-3i)^{2}[/mm]
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> Mein Lösungsvorschlag lautet wie folgt:
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>
> Zunächst würde ich die Funktion folgendermaßen auftrennen
>
>
> [mm]f_{1}(z)=\bruch{1}{4+(z-1)^{2}}[/mm]
>
>
> sowie
>
>
> [mm]f_{2}(z)=e^{\bruch{1}{z-3i}}(z-3i)^{2}[/mm]
>
>
>
> Dann betrachte ich den Nenner der Funktion [mm]f_{1}(z)[/mm]
>
>
> [mm]4+(z-1)^{2}=0[/mm]
>
> [mm]4+z^{2}-2z+1=0[/mm]
>
> [mm]z^{2}-2z+5=0[/mm]
>
>
>
> Die pq- Formel liefert
>
>
> [mm]z_{1,2}=1\pm\wurzel{1-5}[/mm]
>
> [mm]z_{1,2}=1\pm\wurzel{-4}[/mm]
>
> [mm]z_{1,2}=1\pm\wurzel{-1}\wurzel{4}[/mm]
>
> [mm]z_{1,2}=1\pm2i,[/mm] mit [mm]i\in\IC[/mm]
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> Wir erhalten mit [mm]1\pm2i[/mm] einen Pol der Ordnung 2 und
> betrachten nun die Funktion [mm]f_{2}(z)[/mm]
Überlege nochmal ! Beides sind Pole der Ornung 1
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>
> Die Funktion ist offensichtlich holomorph auf [mm]\IC[/mm] mit
> Ausnahme des Punktes 3i. Die Singularität [mm]z_{0}[/mm] lautet also
> 3i, mit [mm]i\in\IC.[/mm] Es müsste sich dabei um eine wesentliche
> Singularität handeln.
Richtig
FRED
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> Meine Bitte:
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>
> Ich würde mich freuen, wenn jemand, ein letztes Mal zu
> diesem Thema, nochmal seinen Kommentar zu meinem
> Lösungsvorschlag abgeben könnte. Vielen Dank!
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> Gruß, Marcel
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