Beliebig oft stetig diff'bar < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zu zeigen ist, dass die Funktion f: [mm] \IR \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] f(x) = [mm] \begin{cases} exp(-\bruch{1}{x^{2}}, & x \not= 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases} [/mm] |
Hallo zusammen und ein frohes neues Jahr wünsche ich,
die oben beschriebene Übungsaufgabe macht mir Schwierigkeiten. Ich habe zwar eine Lösung, kann allerdings diese nicht voll verstehen.
Grundsätzlich ist mir klar was man hier macht.
Für x=0 ist die Funktion beliebig diff'bar.
Für x [mm] \not= [/mm] 0: Die E-Funktion ist beliebig stetig diff'bar, was hier mit Induktion gezeigt wurde.
Die Stelle x=0 wurde dann bei der (n+1) Ableitung noch auf Stetigkeit untersucht.
Mein Problem ist quasi der Ansatz aus der Lösung:
Es gilt für x [mm] \not=0:
[/mm]
[mm] f^{(n)}(x) [/mm] = [mm] P_{3n}(\bruch{1}{x}) [/mm] * [mm] exp(-\bruch{1}{x^{2}}),
[/mm]
wobei [mm] P_{3n} [/mm] ein Polynom vom Grad 3n ist.
Dann geht die Induktion los, das ist soweit dann alles verständlich für mich was da passiert.
Meine Fragen also:
Wo kommt der Ansatz her, ich verstehe das [mm] P_{3n} [/mm] nicht. Das man beim Ableiten Polynome erhält ist mir klar, aber warum hat dieses als Argument [mm] (\bruch{1}{x}) [/mm] und nicht einfach x?
Beispiel, ich leite die Funktion einmal ab, dann habe ich:
f'(x) = [mm] \bruch{2}{x^{3}} [/mm] * [mm] exp(-\bruch{1}{x^{2}}.
[/mm]
Dann könnte ich doch auch einfach sagen, [mm] P_{1}(x) [/mm] = [mm] \bruch{2}{x^{3}} [/mm] für n=1, also wenn ich einmal abgeleitet habe...
Ich verstehe also nicht so richtig, woher dieses [mm] P_{3n}(\bruch{1}{x}) [/mm] herkommt, warum das Argument so gewählt wurde und warum 3n, und was es genau bedeutet...Ich hoffe es ist verständlich was ich nicht verstehe und mir kann jemand helfen :).
Viele Grüße,
abinator123
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:51 Fr 01.01.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast doch für f' ein Polynom vom [mm] 1/x^3 [/mm] also [mm] P_1=P_(3*1)(1/x) [/mm] (oder ist dir nicht klar dass [mm] -2/x^3 [/mm] ein Polynom dritten Grades von 1/x ist?
im Gegensatz zu einem Polynom von x also P(x)
wenn du f'' bildest hast du ein Polynom 6 ten Grades , es fängt an mt [mm] 4/x^6 [/mm] +..
und wenn du die Induktion verstanden hast gilt das dann für alle Ableitungen.
Gruß leduart
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Hallo leduart,
VIELEN DANK!
Das habe ich dann verstanden!
Mir war nicht wirklich klar (wobei man das ja doch selber erkennen könnte), dass im Vergleich zu der mir bekannten Form von Polynomen P(x) = [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i}*x^{i} [/mm] bei Polynomen der Form P(1/x) die Variablen "einfach nur" die Form [mm] \bruch{1}{x^{i}} [/mm] haben. Ich dachte bis hier her, dass es "egal" ist, dass man dafür ebenfalls P(x) = [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i} [/mm] * [mm] \bruch{1}{x^{i}} [/mm] schreiben kann. War mir so nicht klar, aber wäre so ja auch nicht eindeutig... habe das allerdings vorher auch noch nirgendwo gesehen.
Vielen Dank dafür!
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