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Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Beispiele Gruppen und Ringe
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Beispiele Gruppen und Ringe: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:37 Do 02.07.2015
Autor: riju

Aufgabe
Geben Sie jeweils ein Beispiel an für:
a) Quasigruppe, die keine Gruppe ist
b) Halbgruppe, die kein Monoid ist
c) Monoid, das keine Gruppe ist
d) nicht abelsche Gruppe unendlicher Ordnung, die ausschließlich Elemente der Ordnung [mm] 1,2,5 [/mm] enthält
e) unendlich, nicht kommutativer, nicht unitärer Ring mit Nullteilern
f) endlicher, nicht kommutativer Ring mit Nullteilern
g) Ring der Charakteristik 3 und Ordnung 9

Hallo,

ich bereite mich gerade auf ein Testat vor.
Zur Vorbereitung möchte ich die oben gestellte Aufgabe lösen.

Hier meine Vorschläge:
a) Quasigruppe, die keine Gruppe ist


b) Halbgruppe, die kein Monoid ist
[mm] (\IN,+) [/mm]

c) Monoid, das keine Gruppe ist
[mm] (\IR^{2 \times 2},\*) [/mm]

d) nicht abelsche Gruppe unendlicher Ordnung, die ausschließlich Elemente der Ordnung [mm] 1,2,5 [/mm] enthält

e) unendlich, nicht kommutativer, nicht unitärer Ring mit Nullteilern
[mm] ((2\IZ)^{2 \times 2},+, \*) [/mm]

f) endlicher, nicht kommutativer Ring mit Nullteilern

g) Ring der Charakteristik 3 und Ordnung 9
[mm] (\IZ_{3} \times \IZ_{3},+,\*) [/mm]

Bei a), d) und f) habe ich leider keine Idee. Vielleicht kann mir da jemand helfen.

Vielen Danke

Liebe Grüße
riju

        
Bezug
Beispiele Gruppen und Ringe: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:02 Do 02.07.2015
Autor: riju

Ich habe jetzt noch ein paar Ideen zu a) d) und f)
>  a) Quasigruppe, die keine Gruppe ist

Verknüpfungstafel
[mm] \pmat{ & a & b & c \\ a & a & b & c \\ b & c & a & b \\ c & b & c & a } [/mm]

(wobei die erste Spalte die Randspalte ist und die erste Zeile die Kopfzeile ist)

>  d) nicht abelsche Gruppe unendlicher Ordnung, die
> ausschließlich Elemente der Ordnung [mm]1,2,5[/mm] enthält

[mm] D_{5} \times D_{5} \times \ldots [/mm] = [mm] \times_{i \in \IN} D_{5} [/mm]

>  f) endlicher, nicht kommutativer Ring mit Nullteilern

[mm] ((\IZ_{2})^{2 \times 2},+,\*) [/mm]

Bezug
                
Bezug
Beispiele Gruppen und Ringe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:03 Fr 03.07.2015
Autor: felixf

Moin!

> Ich habe jetzt noch ein paar Ideen zu a) d) und f)
>  >  a) Quasigruppe, die keine Gruppe ist
>  
> Verknüpfungstafel
>  [mm]\pmat{ & a & b & c \\ a & a & b & c \\ b & c & a & b \\ c & b & c & a }[/mm]
>  
> (wobei die erste Spalte die Randspalte ist und die erste
> Zeile die Kopfzeile ist)

[ok]

> >  d) nicht abelsche Gruppe unendlicher Ordnung, die

> > ausschließlich Elemente der Ordnung [mm]1,2,5[/mm] enthält
>  
> [mm]D_{5} \times D_{5} \times \ldots[/mm] = [mm]\times_{i \in \IN} D_{5}[/mm]

[ok]

> >  f) endlicher, nicht kommutativer Ring mit Nullteilern

>  [mm]((\IZ_{2})^{2 \times 2},+,\*)[/mm]  

[ok]

(Wenn der Ring eine 1 enthält, endlich ist und keine Nullteiler hat, so muss er übrigens bereits ein kommutativer Körper sein: aus dem Nicht-Vorhandensein von Nullteilern folgt, dass es sich um einen Schiefkörper handeln muss, und nach dem Satz von Wedderburn sind alle endlichen Schiefkörper bereits Körper, also kommutativ.)

LG Felix


Bezug
        
Bezug
Beispiele Gruppen und Ringe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:59 Do 02.07.2015
Autor: felixf

Moin!

> Geben Sie jeweils ein Beispiel an für:
>  a) Quasigruppe, die keine Gruppe ist
>  b) Halbgruppe, die kein Monoid ist
>  c) Monoid, das keine Gruppe ist
>  d) nicht abelsche Gruppe unendlicher Ordnung, die
> ausschließlich Elemente der Ordnung [mm]1,2,5[/mm] enthält
>  e) unendlich, nicht kommutativer, nicht unitärer Ring mit
> Nullteilern
>  f) endlicher, nicht kommutativer Ring mit Nullteilern
>  g) Ring der Charakteristik 3 und Ordnung 9
>  Hallo,
>  
> ich bereite mich gerade auf ein Testat vor.
>  Zur Vorbereitung möchte ich die oben gestellte Aufgabe
> lösen.
>  
> Hier meine Vorschläge:
>  a) Quasigruppe, die keine Gruppe ist
>  
>
> b) Halbgruppe, die kein Monoid ist
>  [mm](\IN,+)[/mm]

Wenn [mm] $\IN$ [/mm] bei euch die 0 nicht enthält, dann ja :)

> c) Monoid, das keine Gruppe ist
>  [mm](\IR^{2 \times 2},\*)[/mm]

[ok]

Es geht aber auch einfacher. Du kannst z.B. [mm] $(\IN, \cdot)$ [/mm] betrachten (egal ob mit oder ohne 0).

> e) unendlich, nicht kommutativer, nicht unitärer Ring mit
> Nullteilern
>  [mm]((2\IZ)^{2 \times 2},+, \*)[/mm]

[ok]

> g) Ring der Charakteristik 3 und Ordnung 9
>  [mm](\IZ_{3} \times \IZ_{3},+,\*)[/mm]

[ok]

LG Felix


Bezug
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